第103問の解答


1.問題 [空間図形]

展開図
左図は、ある立体の展開図です。

 四角形は正方形、三角形は正三角形、六角形は正六角形です。
また、正方形面積18cm2です。

 このとき、この立体の体積を求めてください。


2.立体の図

平面図
平面図
側面図
側面図
立面図
立面図
俯瞰図
俯瞰図



3.立方体の切断

(参考)マウスでドラッグして下さい。

左図では、立方体の辺AB、BF、FG、GH、HD、DAの各中点をM1、M2、M3、M4、M5、M6、および辺BC、CG、CDの各中点をN1、N2、N3とする。

M1、M2、M3、M4、M5、M6を結んで出来る図形は正六角形。
N1、N2、N3を結んで出来る図形等は正三角形。
M1、N1、N3、M6を結んで出来る図形等は正方形。
となり、左図は問題の立体と同じものであることが分かる。

さて、正六角形を含む平面で、立方体はちょうど二分割されており、求める立体はさらに、M1.B.M2.N1等4つの三角錐をのぞいたものである。

まず、立方体の一辺の長さを求めよう。
直角三角形A.M1.M6の面積は正方形M1.N1.N3.M6の4分の1、従ってそれを二つ合わせた正方形の面積は半分の18/2=9cm
よって、直角三角形の一辺の長さは3cm、立方体の一辺の長さは6cmとなる。

さて、立方体の体積は、6*6*6=216cm
三角錐の体積は、1/3*(1/2*3*3)*3=9/2cm

従って、求める体積は、216/2−9/2*4=108−18=90cmとなる。