第１０５問の解答

１．問題　［平面図形］

問題図
左図のような、角Ａ＝１１０゜である三角形ＡＢＣがあります。

　この三角形の頂点Ａと、辺ＢＣを５：４に分ける点Ｄを結んだところ、角ＢＡＤ＝４０゜、角ＣＡＤ＝７０゜となりました。

　では、辺ＡＢの長さは何cmでしょうか。

２．解答例１（ｋｕｒｉ、５６３匹目のナキウサギさん）

頂点Ｃから直線を辺ＤＡに平行となるように引き、辺ＢＡの延長線との交点をＥとする。
∠ＣＡＥ＝１８０°－（∠ＢＡＤ＋∠ＤＡＣ）＝１８０°－（４０°＋７０°）＝７０°。
ＡＤとＥＣは平行だから、∠ＡＥＣ＝∠ＢＡＤ＝４０°、∠ＡＣＥ＝∠ＤＡＣ＝７０°。
従って、⊿ＡＥＣは二等辺三角形となり、ＥＡ＝ＥＣ。

さて、⊿ＡＢＤと⊿ＥＢＣは相似で、相似比はＢＤ：ＢＣ＝５：９
よって、ＥＣ＝ＡＤ＊９／５＝６＊９／５＝５４／５。
従って、ＥＡ＝ＥＣ＝５４／５。
よって、ＡＢ＝ＥＡ＊５／４＝（５４／５）＊（５／４）＝２７／２。

以上

３．解答例２（吉川さん、いおんとらんぷさん）

ＢＡの延長線上に点ＦをＡＦ＝６ｃｍとなるようにとる。

解答例１と同様にして、∠ＦＡＣ＝７０°。
故に△ＦＡＣは△ＤＡＣと合同となり、面積も等しい。

さて、ＢＤ：ＤＡ＝５：４より、△ＡＢＤの面積：△ＡＤＣの面積＝５：４。
よって、△ＣＢＡの面積：△ＣＦＡの面積＝９：４。

よって、ＢＡ：ＡＦ＝９：４となり、ＢＡ＝ＡＦ＊９／４＝６＊９／４＝２７／２。

以上

４．解答例３（H.Takaiさん、清川育男さん）

ＤをとおりＢＡに平行に直線を引きＡＣとの交点をＧとする。

∠ＡＤＧ＝∠ＢＡＤ＝４０°、よって∠ＡＧＢ＝７０°。
すなわち、△ＤＡＧは二等辺三角形となり、ＤＧ＝ＤＡ＝６ｃｍ。

さて、△ＣＤＧと△ＣＢＡは相似であり、相似比はＣＤ：ＣＢ＝４：９。
よって、ＡＢ＝ＤＧ＊９／４＝６＊９／４＝２７／２。

以上

４．解答例４（ｋｕｒｉ）

△ＡＢＣの面積をＳとする。
△ＡＢＤ：△ＡＤＣ＝ＢＤ：ＢＣ＝５：４。
よって、△ＡＤＣの面積＝Ｓ＊４／９。

さて、△ＣＤＧと△ＣＢＡは相似であり、相似比はＣＤ：ＣＢ＝４：９。
Ｓ　　　　　＝１／２＊ＡＢ＊ＡＣ＊ｓｉｎ（１１０°）　・・・　（１）
Ｓ＊４／９＝１／２＊ＡＣ＊ＡＤ＊ｓｉｎ（７０°）　　・・・　（２）

（１）と（２）の両辺をそれぞれ割ると、
９／４＝ＡＢ／ＡＤ＊ｓｉｎ（１１０°）／ｓｉｎ（７０°）
ところが、ＡＤ＝６ｃｍ、ｓｉｎ（１１０°）＝ｓｉｎ（７０°）だから
ＡＢ＝６＊９／４＝２７／２。

以上