第１２３問の解答

１．問題　［空間図形］

（図１）
問題図１		 （図２）
問題図２
　（図１）のような正六角形ＡＢＣＤＥＦを底面とする角柱の容器に水が入っています。 この容器を少し傾けたところ、（図２）のような状態になり、ＣＱ＝１３cm、ＢＰ＝８cmでした。（注：図２では、元の位置へ戻しています。）

　では、（図１）の状態のとき、水の高さは底面から何cm あったでしょうか。？

２．解答例１（吉川マサルさん他）

（図３）
参考図１		 （図４）
参考図２

図３で、ＡＰＱＲＳＴが作る平面とＦから真下に下ろした直線が交わる点をＵとする。

次に、図４でＵを通り底面ＡＢＣＤＥＦに水平な面へＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅから真下に下ろした点をＶ、Ｗ、Ｘ、Ｙ、Ｚとする。

すると、△ＱＵＸと△ＰＡＢは対応する各辺が平行であることから相似となる。また、ＵＸ＝ＦＣ＝２×ＡＢより、相似比は２：１である。

よって、ＱＸ＝２×ＡＢ＝１６ｃｍとなり、ＦＵ＝ＣＸ＝ＱＸ−ＱＣ＝１６−１３=３ｃｍと分かる。

さて、Ｒ、Ｓの高さは次のようにして分かります。
まず、ＲからＱＸに下ろした垂線の足をＸ’とします。すると、△ＱＲＸ’と△ＡＵＶは合同となり、ＱＸ’＝ＡＶ＝３ｃｍとなります。よって、Ｒの高さはＱより３ｃｍ低い１０ｃｍとなります。

同様に、Ｓの高さは、Ｒの高さよりＰＢ＝８ｃｍ分だけ低くなるので１０−８＝２ｃｍと分かります。

以上から、六角形ＡＰＱＲＳＵの対応する頂点の高さの平均は、（Ａの高さ＋Ｒの高さ）／２＝（０＋１０）／２＝５ｃｍ、（Ｐの高さ＋Ｓの高さ）／２＝（８＋２）／２＝５ｃｍ、（Ｑの高さ＋Ｕの高さ）／２＝（１３−３）／２＝５ｃｍと全て５ｃｍになります。

従って、もし三角錐ＵＡＦＴに水が入っているものと考えれば、水面をならせば５ｃｍの高さになると考えられます。

しかし、実際には三角錐ＵＡＦＴに水は入っていないので、この体積分の高さを逆に加えてやる必要があります。

正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積を１とすると、三角形ＡＥＦの面積は１／６となります。また、ＥＴ：ＴＦ＝ＳＥ：ＦＵ＝２：３となるので、三角形ＡＦＴの面積＝三角形ＡＥＦの面積×３／５＝１／６×３／５＝１／１０と分かります。

よって、三角錐ＵＡＦＴの体積＝１／３×（１／１０×３）＝１／１０となりますので、これを正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積１の広さにならすと高さは１／１０＝０．１ｃｍ分になります。

よって、求める高さは、５ｃｍ＋０．１ｃｍ＝５．１ｃｍとなります。

答：５．１ｃｍ

以上

３．解答例２（たなかさん他）

Ｒの高さを次のようにして求めます。

ＡＰとＲＱを延長して交わる点をＧとします。すると、ＡＰ：ＡＧ＝１：２になるので、Ｇの高さ＝Ｐの高さ×２＝１６ｃｍとなります。

同様に、ＲＱ：ＲＧ＝１：２なので、（Ｒの高さ＋Ｇの高さ）／２＝Ｑの高さとなり、Ｒの高さ＝Ｑの高さ−（Ｇの高さ−Ｑの高さ）＝１３−（１６−１３）＝１０ｃｍとなります。

あとは、解答例１と同様です。

以上