第１２４問の解答
１．問題 ［場合の数］
| 色の違う１０個の箱と、見分けのつかない３つのボールがあります。 このボールを１０個の箱に入れるとき、入れ方は 何通りあるでしょうか？ ただし、１つの箱に何個ボールを入れても構いません。 |
２．解答例１（武田 浩紀さん、中村 明海さん、563匹目のナキウサギさん他）
１２個のマッチ棒を考えます。
このうち３個のマッチ棒を選びます。選び方は、１２Ｃ３＝１２×１１×１０／（３×２×１）＝２２０通りです。
残った９個のマッチ棒を仕切りと見て、選んだマッチ棒はボールに置き換えてみると、３個のボールを１０個の箱に入れたことになるので、求める場合の数は２２０通りとなります。
答：２２０通り
（別解）
縦３行×横９列の格子を考えます。
左下隅から右上隅まで進む最短経路の数は、上へ進むことをＮ、右へ進むことをＥと表すと、ＮＮＮＥＥＥＥＥＥＥＥＥ、ＮＮＥＮＥＥＥＥＥＥＥＥ、・・・、ＥＥＥＥＥＥＥＥＮＮＮなど３個のＮと９個のＥを重複を許して並べる順列の数＝（３＋９）！／（３！×９！）＝１２Ｃ３＝２２０通りである。
以上
３．解答例２（柚奇神太郎さん、丸天後藤様、H.Takaiさん他）
場合分けで考えます。
１個ずつボールを入れる：
１０個の箱より３個選ぶ・・・１０Ｃ３＝１０×９×８／（３×２）＝１２０通り２個入れる箱と１個入れる箱がある：
１０個の箱より２個選び、さらにその２個より１個選んでそこへはボールを２個、他方へは１個入れる・・・１０Ｃ２×２Ｃ１＝１０×９／２×２／１＝９０通り１箱にボールを３個入れる：
１０個の箱より１個選ぶ・・・１０Ｃ１＝１０／１＝１０通り合計２２０通り
以上