第125問の解答


1.問題 [空間図形

問題図
 左図のようなA、B、C各部品を使って、立体の展開図を作りました。

 A、B、C各部品は、1辺の長さが6cm正方形を使って作りました。また、部品およびで、正方形の頂点以外の点は、正方形の辺の中点を用いています。

 では、この立体を組み立てたとき、 体積は何cm3になるでしょうか?


2.解答例1(TORAさん、わかさひ君、柚奇 神太郎さん他)

参考図1

(参考)立体図を自由に回転できるJavaアプレット
(柚奇 神太郎さん作)

部品Bが垂直に立っていることを示します。

参考図2

立体真上から見た図を上記の通りとします。
すると、対象性から、四辺形EFGH正方形となり、EFGHの作る平面は水平となります。

正方形EFGHの中心をとすると、2等辺直角三角形OEHは、ちょうど部品Cを切り取って残る2等辺直角三角形と同じ大きさとなるので、結局EFGHは、正方形ABCDと同じ大きさの正方形となる。従って、部品Bの頂点E、F、G、H辺AB、BC、CD、DAの真上にあることになり、言い換えれば部品Bが垂直に立っていることになります。

これから、点Eの高さは、部品B2等辺三角形の高さ、つまり部品Aである正方形の1辺の長さ6cmに等しくなる。また、頂点Pの高さ:点Qの高さ=PA:QA2:1となり、点Qの高さは点Eの高さに等しいので、頂点Pの高さは、6cm×2=12cmとなります。

参考図4

さて、面EFGH立体を輪切りにし、さらに上側の正4角錐EGP、FPHを通る面で垂直に切り4等分にする。それらを逆さまにすると、ちょうど下側に残った立体AHE、BEFの面などに置くと、立方体ぴったり収まるようになる。(上図は2個のみ置いたところ)

よって、求める立体の体積は、1辺が6cmの立方体の体積に等しくなり、6×6×6216cm3となる。

答:216cm3

以上