第１２７問の解答

１．問題　［整数の性質］

４桁の整数が２つあります。 １●▲３ と３●▲７です。

この２つの整数の最大公約数が できるだけ大きくなるように、●、▲を決めて下さい。

２．解答例１（長野　美光さん、武田 浩紀さん、わかさひ君、柚奇 神太郎さん、他多数）

ｐ=３●▲７、ｑ＝１●▲３とします。
ｐとｑの公約数をｄとおくと、ｐ＝ａ×ｄ、ｑ＝ｂ×ｄと書けます。

ｐ−ｑ＝２００４＝（ａ−ｂ）×ｄとなるので、ｄは２００４の約数になります。

２００４＝４×３×１６７と因数分解できます。ところが、ｐ、ｑは奇数なので、ｄも奇数。従って、ｄ＝３、１６７、３×１６７が考えられます。ｄ＝３×１６７が答と推測できますが、ここでは、それも含めてｄ＝１６７としてみましょう。

３０００＜ａ×１６７＜４０００、１０００＜ｂ×１６７＜２０００より、１８≦ａ≦２３、６≦ｂ≦１１となります。

ここで、１６７は素数なので、下一桁に注目してみましょう。ｎ＝０から９までと７を掛けて得られる数の下一桁は次のとおりです。

参考図

これから、条件に該当するものは、ａ＝２１、ｂ＝９のみです。
このとき、ｐ＝２１×１６７＝３５０７、ｑ＝９×１６７＝１５０３となり、題意を満たします。なお、ａ＝２１、ｂ＝９は３を約数に持ちますので、やはり最大公約数で最も大きなものは、３×１６７＝５０１と分かります。

答：● ＝５、 ▲＝０

以上

３．解答例２（MapleVによる計算、中村明海さん、清川　育男さん）

中村明海さんが出された参考問題（ｐ=９ ●▲ ８、ｑ＝ ３ ●▲ ２）の場合は、差をとるとｐ−ｑ＝6006 = 2×3×7×11×13と32個も約数があります。
今回の問題と違って、場合の数が多いので、このようなときは、コンピュータに計算させたほうが早いでしょう。

（MapleVでの計算例）

> p_gc:=proc(pval,qval)
local ii,i,ival,igcval;
igcval:=0:
for i from 0 to 99 do
　ii:=igcd(pval+i*10,qval+i*10):
　if ii > igcval then ival:=i:igcval:=ii
　fi
od:
RETURN(ival,igcval):
end:
> p_gc(1003,3007);
　　　50,501
> p_gc(9008,3002);
　　　43,858
>

(注)igcd:最大公約数

これから、今回の問題の答は、●＝５、 ▲＝０、最大公約数５０１、中村明海さんの問題の答は、 ●＝４、 ▲＝３、最大公約数８５８となります。

以上