第１２９問の解答

１．問題　［速さ］

問題図

特急と快速がそれぞれ一定の間隔で走っている線路があります。

この線路沿いに、マサル君が自転車に乗って走ったところ、１９分ごとに快速とすれちがい、また特急には３８分ごとに追い抜かれました。

また、快速に乗っていたトモエさんは、特急と１６分ごとにすれ違ったそうです。

では、特急に乗っていたツヨシ君は、 何分ごとに快速とすれ違ったでしょうか。

２．解答例１（柚奇 神太郎さん、長野　美光さん、H.Takaiさん他）

下図のようにダイアグラムを作成して考えます。

参考図１

特急および快速はそれぞれ等間隔に一定速度で走っていますので、ダイアグラム上で特急と快速が出会う点は平行四辺形上にあります。

さえて、マサルさんの自転車が快速と出会うのが１９分おき、特急に追い抜かれるのがその２倍の３８分おき、ということから、ダイアグラム上でマサルさんの自転車が走る直線を原点（特急と快速が出会う点）まで平行移動すると上図のようになり、特急に一度追い抜かれて次ぎにまた追い抜かれるとき、ちょうど２台目の快速と出会うこととなります。

従って、その３８分間の間に特急は２台の快速と出会い、その快速が次の特急に出会うことになります。

すなわち、特急が快速と出会うのは、（３８−１６）／２＝１１分おきとなります。

　

　

答：１１分

以上

３．解答例２（中村明海さん、おりくん、ｋｕｒｉ他）

特急、快速、自転車の速度をそれぞれＶ１，Ｖ２，Ｖ３Km／分、特急、快速の運転間隔をそれぞれＬ１、Ｌ２Ｋｍ、および特急が快速と出会うのをＴ分おきとします。

題意から次の式が得られます。

（Ｖ１−Ｖ３）×３８＝Ｌ１　・・・　（１）
（Ｖ２＋Ｖ３）×１９＝Ｌ２　・・・　（２）
（Ｖ１＋Ｖ２）×１６＝Ｌ１　・・・　（３）
（Ｖ１＋Ｖ２）×Ｔ　＝Ｌ２　・・・　（４）

（１）、（２）より、Ｖ１＝Ｖ３＋Ｌ１／３８、Ｖ２＝−Ｖ３＋Ｌ２／１９を得るので、これを（３）に代入すると、
　　（Ｖ３＋Ｌ１／３８−Ｖ３＋Ｌ２／１９）×１６＝Ｌ１
　　（Ｌ１＋Ｌ２×２）×１６＝Ｌ１×３８
　　Ｌ１×（３８−１６）＝Ｌ２×３２
　　Ｌ２／Ｌ１＝２２／３２　　　・・・　（５）

（４）／（３）より、
　　Ｔ／１６＝Ｌ２／Ｌ１
　　Ｔ＝Ｌ２／Ｌ１×１６＝２２／３２×１６＝２２／２＝１１
を得る。

　

以上

４．設問２（中村明海さんによる）

特急の運転間隔は快速の運転間隔より８分１６秒長く、また特急の間隔は５８．９Ｋｍでした。

では、マサル君の自転車は時速何Ｋｍでしょうか？

解答例２に次の式が加わります。

　Ｌ１／Ｖ１−Ｌ２／Ｖ２＝８＋１６／６０　・・・　（６）
　Ｌ１＝５８．９　　　　　　　　　　　　　　　　・・・　（７）
（５）、（７）より、
　Ｌ２＝Ｌ１×１１／１６＝６４７９／１６０

（６）に代入して、
　５８．９/Ｖ１-6479/160/Ｖ２=124/15
これと（３）より、Ｖ２を消去して、
　1984/15×Ｖ１^2-311581/150×Ｖ１+346921/100 = 0

Ｖ１＝19/10、1767/128、このときＶ２＝57/32、-6479/640、
Ｖ３＝7/20、7843/640
２番目の解はＶ２が負となり不可。

よって、Ｖ３＝7/20Km／分＝7/20×60Km／時＝２１Km／時

答：２１Km／時

以上