第131問の解答


1.問題 [空間図形

問題図
左図のような、半径3cmの球があります。

 この球の周りに、長さが全て同じ竹ひご6本やぐらを組みました。このとき、すべての竹ひごは、球に接していました。

 この6本の竹ひごによって作られたやぐら容積を求めてください。

2.解答例1(武田浩紀さん、モンゴルさん他多数)

下図のように、外接する立方体を考えます。立方体1辺は球の直径と同じ6cmになります。ただし、Q、R、Uは、立方体が接する点とする。例えば、正方形ABCD中心である。

参考図1

立方体頂点A、C、F、Hを結んで作る4面体は各辺の長さが全て等しい正四面体になる。そして、各辺の中点(P、Q、R、S、T、U)は、立方体各面の中心であることから、球に接しているので、これが求めるやぐらに他ならない。

参考図2 参考図4

従って、やぐらの体積
 立方体の体積(三角錘BAFC三角錘DACH三角錘EAFH三角錘GCFH
6×6×6−1/3×(1/2×6×6×6)×4=(6−4)×6×6=72cm3となる。

答:72cm3

以上

(参考)マウスでドラッグして下さい。

3.解答例2(ぶぶおパパさん、H.Takaiさん他多数)

下図のように、正四面体各辺の中点を結んでできる立体は、正八面体になります。

参考図6 (参考)マウスでドラッグして下さい。

まず、この正八面体の体積を求めます。
正八面体正方形PSTRを通る平面で2つに切ります。
正方形PSTR対角線の長さはちょうど球の直径=6cmですから、面積は6×6/2=18cm2から正方形PSTRにおろした垂線の長さは球の半径=3cm
よって、正八面体の体積=四角錐QPSTRの体積×
               =(1/3×18×3)×236cm3

さて、正四面体から正八面体を除いた部分は、DPQRなど同じ大きさの正四面体4個分であり、それぞれの正四面体は各辺の長さが元の正四面体半分だから体積は1/8
合計1/8×4=1/2

よって、求める正四面体の体積はちょうど正八面体の体積の2倍72cm3となります。

以上


4.解答例3(長野義光さん、kuri他多数)

下図で正四面体の1辺の長さをcmとします。

参考図5

AB=a、BH=a/2より、AH=√3/2×a、
PB=AP=AH×2/3=√3/3×a。 (注1)
DB=a、PB=√3/3×a
より、DP=√6/3×a、
OP=DP/4=√6/12×a。 (注2)

よって、OP=√6/12×a、PH=AH/3=√3/6×aより、
OH1/√8×a、OH=球の半径=3cmなので、a=√8×3=√2×6cm。

さて、正四面体の体積1/3×正三角形ABC×DP
             =1/3×(1/2×a×√3/2×a)×√6/3×a
             =√2/12×a3
72cm3

以上