第１３７問の解答
１．問題 ［整数の性質］
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４つの箱があります。これらの箱の中には、整数の書かれたカードが何枚かずつ入っていて、次のような規則性があります。
・Ａ、Ｂの箱からカードを１枚ずつ取り出すと、その和は必ず ５で割りきれる。
・Ｂ、Ｃの箱からカードを１枚ずつ取り出すと、その和は必ず ７で割りきれる。
・Ｃ、Ｄの箱からカードを１枚ずつ取り出すと、その和は必ず ９で割りきれる。
・Ｄ、Ａの箱からカードを１枚ずつ取り出すと、その和は必ず１１で割りきれる。
マサル君がＡの箱から１枚取り出してみたところ、そのカードには１が書かれていました。また、Ｃの箱から１枚取り出してみると、今度は２９が書かれていました。
（１）ある箱からカードを取り出したところ、２１８と書かれていました。このカードはＡ〜Ｄのどの箱から取り出したものでしょうか。
（２）カードに書かれた整数は、３ケタ以下の整数であるとすると、Ｂの箱には最大で何種類のカードが入っている可能性があるでしょうか。
２．解答例１（ｋｕｒｉ他）
まず、Ａの箱から取り出した１とＢの箱から取り出した任意のカードに書かれた整数を加えると５で割り切れることから、Ａの箱の整数は５で割った余りが１、Ｂの箱の整数は５で割った余りが４となります。
また、Ａの箱から取り出した１とＤの箱から取り出した任意のカードに書かれた整数を加えると１１で割り切れることから、Ａの箱の整数は１１で割った余りが１、Ｄの箱の整数は１１で割った余りが１０となります。
同様に、Ｃの箱から取り出した２９（７で割った余りは１）とＢの箱から取り出した任意のカードに書かれた整数を加えると７で割り切れることから、Ｂの箱の整数は７で割った余りが６、Ｃの箱の整数は７で割った余りが１となります。
また、Ｃの箱から取り出した２９（９で割った余りは２）とＤの箱から取り出した任意のカードに書かれた整数を加えると９で割り切れることから、Ｃの箱の整数は９で割った余りが２、Ｄの箱の整数は９で割った余りが７となります。
設問（１）：
さて、２１８を５で割った余りは３だからＡの箱ではなく、２１８を７で割ったあまりは１だからＢの箱ではなく、２１８を１１で割った余りは９だからＤの箱でもありません。
また、２１８を７で割った余りは１、９で割った余りは２だから、結局２１８はＣの箱から取り出したことになります。
設問（２）：
Ｂの箱の整数は５で割った余りが４、７で割った余りが６だから、これに１を加えた整数は５および７で割り切れる。すなわち、５×７＝３５の倍数である。
９９９／３５＝２８＋１９／３５より、Ｂの箱の整数は３５×１−１＝３４、３５×２−１＝６９、・・・、３５×２８−１＝９７９の２８通りあり得る。
答：（１）Ｃ （２）２８通り
以上