第140問の解答


1.問題 [平面図形

問題図
 左図のような、AB:BC=2:5の三角形ABCがあります。いま、角ABCの二等分線BEをひき、さらに頂点から直線BEに垂線CDを下ろしました。

 このとき、三角形ABEと三角形DEC面積比を求めてください。

2.解答例1(おりくん他)

参考図1

 BAの延長線とCDの延長線の交点をFFEの延長線とBCとの交点をGとすると、
三角形BFCBCを軸に対称になるので、AF=GC=3、BG=BA=2となる。

従って、△ABE:△AFE=BA:AF=2:3
    △GBE:△GCE=BG:GC=2:3
    △GFB:△GFC=BG:GC=2:3。

よって、△GFC=△GFB×3/2=7×3/2=21/2、
    △DCE=(△GCE−△GCE)/2=(21/2−3)/2=15/4。

従って、△ABE:△DCE=2:15/4=8:15になります。

答:8:15

以上


3.解答例2(平野邦彦さん、真鍋豪仁さん、H.Takaiさん、たなかさん他)

参考図2

からBDに垂線AQをおろす。

すると、三角形ABQCBDは相似で相似比はAB:BC=2:5
よって、BQ:QD=2:3

また、三角形AQECEDは相似で相似比はAQ:CD=AB:BC=2:5
QE=3×2/7、ED=3×5/7
BE:ED=(BQ+QE):ED=(20/7):(15/7)=4:3

従って、△ABE/△DEC=(BE×AQ)/(ED×CD)=
    =(BE/ED)×(AQ/CD)=(4/3)×(2/5)=8/15

よって、△ABE:△DEC8:15


4.解答例3(飯田孝久さん)

参考図3

 BAの延長線とCDの延長線の交点をFからBCに平行線を引きBFとの交点をGとすると、 三角形BAFBDC合同、DF=DC、BF=BC=5、 AF=BF−BA=3。

三角形FACにおいて中線定理より、FG=GA=3/2
三角形BAEBGDは相似、BE:ED=BA:AG=4:3

また、三角形BAHBCDは相似、AH:CD=BA:BC=2:5

よって、△ABE/△DCE=(BE×AH)/(ED×CD)
   =(BE/ED)×(AH/CD)
   =(4/3)
×(2/5)=8:15


5.解答例4(kuri)

問題図

∠ABE=∠CBE=θとおく。

△ABC=1/2×AB×BC×sin2θ、△ABE=1/2×AB×BE×sinθ、
△CBE=1/2×BC×BE×sinθ。

よって、△ABE:△ACE=AB:BC=2:5、
    △ABE=2/7×△ABC、△CBE=5/7×△ABC。

△BCD=1/2×BD×CD=1/2×(BC×cosθ)×(BC×sinθ)
     =1/2×BC2×1/2×sin2θ
     =1/2×BC/AB×△ABC
     =5/4×△ABC。

従って、△DEC=△BCD−△CBE
         =(5/4−5/7)×△ABC
         =15/28×△ABC。

よって、△ABE:△DEC=(2/7):(15/28)=8:15