第１４３問の解答

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１．問題 ［整数の性質］

ある４ケタの整数 Ａがあります。 　この４ケタの整数 Ａの各位の数字を、大きい順に入れかえた数字をＸ、小さい順に入れか えた数字をＹとします。すると、 　Ｘ−Ｙ＝Ａ 　となったそうです。（※）では、この４ケタの整数 Ａはいくつだったでしょうか。

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２．解答例１（kuri）

Ｘ＝ａｂｃｄ、Ｙ＝ｄｃｂａ、Ａ＝ｐｑｒｓとし、簡単のためにａ＞ｂ＞ｃ＞ｄとします。

Ｘ−Ｙ＝Ａより、ｓ＝ｄ−ａ＋１０、ｒ＝ｃ−１−ｂ＋１０＝ｃ−ｂ＋９、ｑ＝ｂ−１−ｃ、ｐ＝ａ−ｄとなります。

題意より、ｐ、ｑ、ｒ、ｓはａ、ｂ、ｃ、ｄを並び替えたものであるが、
　ａ−ｐ＝ｄ＞０よりａ＞ｐ
　ｐ−ｑ＝（ａ−ｂ）＋（ｃ−ｄ）＋１＞０よりｐ＞ｑ、
　ｒ−ｓ＝（ａ−ｂ）＋（ｃ−ｄ）−１＞０よりｒ＞ｓ

従って、ｐ＝ｂ、ｑ＝ｃ、ｒ＝ａ、ｓ＝ｄ・・・（１）
　　　　ｐ＝ｂ、ｑ＝ｄ、ｒ＝ａ、ｓ＝ｃ・・・（２）
　　　　ｐ＝ｃ、ｑ＝ｄ、ｒ＝ａ、ｓ＝ｂ・・・（３）
のいずれかである。

（１）のとき：
　ａ−ｄ＝ｂ、ｂ−ｃ−１＝ｃ、ｃ−ｂ＋９＝ａ、ｄ−ａ＋１０＝ｄより
　ａ＝１０、ｂ＝−３、ｃ＝−２、ｄ＝１３

（２）のとき：
　ａ−ｄ＝ｂ、ｂ−ｃ−１＝ｄ、ｃ−ｂ＋９＝ａ、ｄ−ａ＋１０＝ｃより
　ａ＝７、ｂ＝６、ｃ＝４、ｄ＝１

（３）のとき：
　ａ−ｄ＝ｃ、ｂ−ｃ−１＝ｄ、ｃ−ｂ＋９＝ａ、ｄ−ａ＋１０＝ｂより
　ａ＝１７／３、ｂ＝２０／３、ｃ＝１０／３、ｄ＝７／３

このうち題意を満たすのは、（２）のときのみである。
このとき、Ａ＝ｂｄａｃ＝６１７４となる。

答：６１７４

(補足)数字に等しいものがあるときの考察

上記では、簡単のためにａ＞ｂ＞ｃ＞ｄとしましたが、ａ≧ｂ≧ｃ≧ｄとして考えます。

もし、a=dとすると、a=b=c=dとなり、Ａ＝Ｘ−Ｙ＝0となるので、題意に適しません。

よって、ａ＞ｄ。すなわち、１の位の計算では必ず、小さい数から大の数を引くことになるので、上記通りｓ＝ｄ−ａ＋１０となる。

すると、１０位の計算では、（c−１）からbを引くことになり、（c-1)-b=c-(b+1)<0より、これも小さい数から大の数を引くことになるので、上記通りｒ＝ｃ−１−ｂ＋１０＝ｃ−ｂ＋９。

次に、１００位の計算では、（ｂ−１）からｃを引くことになり、ｂ＞ｃならｂ−１≧ｃなので、上記通りｑ＝ｂ−１−ｃ、ｐ＝ａ−ｄとなる。

もし、ｂ＝ｃならｂ−１＜ｃとなり、小さい数から大の数を引くことになるので、ｑ＝ｂ−１−ｃ＋１０＝９、ｐ＝ａ−１−ｄとなる。

このとき、ｒ＝ｃ−ｂ＋９＝９となるので、数字の中に少なくとも２つは９が含まれるので、a=b=９でなければならない。よって、ｃ＝ｂ＝９となる。

すると、ｓ＝ｄ−ａ＋１０＝ｄ＋１＞ｄより、ｄ＋１＝９、ｄ＝８となる。

以上から、ａ＞ｄ、ｂ＝ｃのときは、Ｘ＝９９９８、Ｙ＝８９９９、Ａ＝９９９８−８９９９＝０９９９となり、これも題意に適しません。

よって、この問題については、解は上記Ｘ＝７６４１、Ｙ＝１４６７、Ａ＝７６４１−１６４７＝６１７４の一通りしかないことが分かります。

以上

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