第145問の解答


1.問題 [平面図形

問題図
 左図は、三角形ABC角B、角C二等分線の交点をとし、を通りBCに平行な直線がAB、ACと交わる点をE、Fとしたものです。

 すると、三角形EDB17cm2、三角形DBC40cm2、三角形DFC=15cm2となりました。

 このとき、三角形AEF周の長さと、四角形EBCF周の長さを求めてください。

2.解答例1(H.Takaiさん、Asamiさん、kuri他)

参考図

からBC上の点P、QEBおよびFCと平行となるようにとる。

BD、CD∠EBP、∠FCQの2等分線だから、平行四辺形EBPD、DQCF菱形となる。

従って、三角形BPD=17cm2三角形CQD=17cm2
よって、三角形DPQ=40−17−15=8cm2

これら3つの三角形は高さが共通だから底辺の比は面積比に等しい。
よって、BP:PQ:QC=17:8:15
従って、EB=ED=BP=17、FD=FC=QC=15

さて、三角形AEFと三角形ABCは相似で相似比は32:40=4:5
よって、AE:EB=AF:FC=4:1
従って、AE=EB×4=17×4=68、AF=FC×4=15×4=60

以上から、三角形AEFの周の長さ=68+60+32=160、四角形EBCFの周の長さ=17+40+15+32=104。比は、160:104=20:13

答:20:13

以上