第１５０問の解答

１．問題　［集まり？］

ある小学校の理科の時間に、野外にでてカタツムリを観察することになりました。

　一匹のカタツムリを見つけた先生は生徒達に、　「このカタツムリを各自１分間ずつ観察するように。そして、自分が観察した１分間にカタツムリがすすんだ距離を測っておきなさい。」 と言いました。すると、１６分間で生徒全員が観察を終わり、カタツムリはその間絶えず最低１人の生徒に観察されていたそうです。また、生徒達にカタツムリの進んだ距離を聞いたところ、全員が「５cm！」と答えたそうです。

　では、この１６分間にカタツムリは最長で何cm進んだと考えられるでしょうか。

注・・・カタツムリは一定の速度で進んでいるとは限りませんし、休むことがあってもよいものとします。

２．解答例１（たなかさん他）

　下図のような場合を考えるとカタツムリは１５×２×５＝１５０ｃｍ進むことが出来る。
ただし、青色はある生徒が観察している１分間、赤色はカタツムリが５ｃｍ進む時間を表している。

参考図１

逆にカタツムリが進むことができるのは最大１５０ｃｍまでであることを示す。

そのため、任意の１分間でカタツムリは最大１０ｃｍしか勧めないことをしめす。　

参考図２

上図で、［ａ、ｂ］を任意の１分間とする。
ａを含む時間に観察している生徒の中で最後まで見ている人（Ｐとする）の終了時刻をｐ、
ｂを含む時間に観察している生徒の中で最初に見ている人（Ｑとする）の開始時刻をｑとする。

すると、どの時刻にも観察している生徒が最低１人はいることから、ｑ≦ｐである。
Ｐは［p-1,p］、Ｑは［ｑ,ｑ+1］のそれぞれ１分間観察しており、この間カタツムリは５ｃｍずつ進んでいる。［ａ、ｂ］は［p-1、q+1］に含まれるので、［ａ、ｂ］の１分間に最大５×２＝１０ｃｍしか進むことは出来ない。

最初と最後の１分間にはそれぞれ誰か１人の生徒が観察しているので、カタツムリはそれぞれ５ｃｍしか進めない。間の１４分間には、上記より最大１４×１０＝１４０ｃｍしか進めない。従って、合計１６分間で１５０ｃｍ進むのが最大である。

答：１５０ｃｍ

以上