第１５４問の解答
１．問題 ［整数の性質］
| １周６３００ｍの池があります。この池の周りにクイを打つとき、次のようにしました。 まず、スタート地点から１ｍの地点にクイを打ちます。（スタート地点には打ちません） 次に、そこから３ｍ進んだ地点（つまりスタート地点から４ｍ進んだ地点ですね）にクイを打ちます。その後、５ｍ進んだ地点、７ｍ進んだ地点、・・・と次々にクイを打っていきます。 何周かして、スタート地点にクイを打ったところでやめることにします。 このとき、クイは何本打つことになるでしょうか。 ※・・・ただし、スタート地点以外では同じ所に２ヶ所以上クイを打っても良いものとします。 |
２．解答例１
クイをｎ本打ったところで、ちょうどスタート地点に戻った（Ｓ周して）ことにしましょう。
ここまで進んだ距離は、１＋３＋５＋７＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ2 （注）となります。
池の１周は６３００ｍですから、ｎ2＝６３００×Ｓ＝３０2×７×Ｓ。
よってＳ＝７周となり、ｎ＝３０×７＝２１０本となります。
答：２１０本
（注）１＋３＋５＋７＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ2
・最初の１と最後の（２ｎ−１）の平均、２と（２ｎ−２）の平均、・・・は全てｎである。従って、１＋３＋５＋７＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ×ｎ
・あるいは、下図を参照のこと。
以上
