第１５５問の解答

１．問題　［やりとり算］

マサルさんとトモエさんが、コインを使ってゲームをしました。じゃんけんをして、勝った方は、負けた方の持っているコインの半分をもらえるというゲームです。

　最初、２人とも６４枚ずつ持ち、６回勝負したところ、マサルさんのコインは７９枚になったそうです。（引き分けはありませんでした）

　では、マサルさんから見て、２人の勝負はどのような結果だったのでしょうか。

　「勝ちを１、負けを０」として、例えば、「勝ち−負け−負け−負け−勝ち−勝ち」ならば、「１０００１１」と答えてください。

２．解答例１(長野　美光さん、popopoさん、CRYING DOLPHINさん他多数)

一回じゃんけんする前の２人のコイン数をｘ、ｙ枚、じゃんけんした後のコイン数をｘ’、ｙ’枚とします。

ｘ枚持っているほうが勝ったことにすると、ｘ’＝ｘ＋ｙ×1/2、ｙ’＝ｙ×1/2となります。
このときｘ’−ｙ’＝ｘ、ｙ＝ｙ’×２を得るが、ｘ’−ｙ’＝ｘ＞０より、ｘ’＞ｙ’。

すなわち、じゃんけん後のコイン数の多い方がじゃんけんを勝ったことになり、じゃんけん前のコイン数も一意的に決まります。

以上より、最終結果から逆にたどっていくと下記の通りとなるので、マサルさんは「勝ち−勝ち−勝ち−負け−負け−勝ち」すなわち「１１１００１」と分かります。

参考図１

答：１１１００１

以上

３．解答例２(おりくん、ｋｕｒｉ他)

２進数に関係しそうなことは容易に推測できますので、勝ち負けのパターンと最終コイン数の結果を比較して、関連をみてみましょう。

問題を簡単にするため、最初のコイン数を８枚、じゃんけんする回数を３回として、ケースごとの結果を下記に示します。ただし、最初はマサルさんが勝つものとします。

参考図２

上図より、最終コイン数（２進数）の１位を除く部分を逆にしたものが勝ち負けのパターンとなっています。

これから、マサルさんの最終コイン数７９を２進数にすると１００１１１１となるので、勝ち負けのパターンは１１１００１と予想されます。

これを検証してみましょう。
解答例１と同様にｘ、ｙ、ｘ’、ｙ’の２進数表現を考えます。
例えば、ｘ＝９８（１１０００１０2）、ｙ＝３０（００１１１１０2）に対して、ｘが負けたとすると
　ｘ’＝ｘ×1/2＝４９（０１１０００１2）、
　ｙ’＝ｙ＋ｘ×1/2＝（ｘ＋ｙ）×1/2＋ｙ×1/2＝６４＋ｙ×1/2＝７９（１００１１１１2）
より、負けた方は右に１桁シフトし左に０を加える、勝った方は右にシフトし左に１を加える計算になります。

従って、マサルさんの最終コイン数７９（１００１１１１2）から見て、一番上位の１は６回目に勝ち、次の００は５回目、４回目に負け、次の１１１は３回目、２回目、１回目に勝ちを意味することと分かります。

すなわち、１位の１を除いたものを逆にしたものが勝ち負けのパターンになっています。