第164問の解答
1.問題 [空間図形]
左図のような「たこ型」と言われるAB=AD、BC=DCの四角形があります。また、∠ABC=∠ADC=90°です。
z この四角形の、ACとDBの交点をPとすると、AP=50cm、PC=8cmでした。
さて、この四角形に3本の折り目をつけて折って、四面体を作ります。このとき、四面体は2種類つくることができます。
では、この2種類の四面体の体積比を求めてください。
2.解答例1(takashiさん、おりくん、yokoyaMacさん、T.Endoさん、貞松篤さん他多数)
四角形ABCDはACを軸にして対象なので、四角錐となるような折り目の付け方は、
図1:ADの中点をE、ABの中点をFとすると、折り目をEF、EC、FCとする
図2:CDの中点をE、CBの中点をFとすると、折り目をEF、EA、FAとするの2通りあります。
図1(平面図)
図1(俯瞰図)
図2(平面図)
図2(俯瞰図)
図1で∠CGE=∠CGF=90°より、平面EFGと辺GCは垂直に交わっている。
よって、四角錐の体積=△EFG×GC/3。同様に、図2では四角錐の体積=△E'F'G'×G'A/3。
さて、△EFG=△EFA=△ADB×1/4=△ADP×1/2、
△E'F'G'=△EFC=△CDB×1/4=△CDP×1/2
△EFG:△E'F'G'=△ADP:△CDP=AP:PC=25:4。△ADPと△CDPは相似な直角三角形で相似比kはk=AP:PD=PD:PC、
k2=AP/PD×PD/PC=AP/PC=50/8、k=√(50/8)=5/2。よって、GC:G'A=DC:DA=k=5/2。
四角錐の体積比=(△EFG:△E'F'G')×(G'A:GC)=25:4×2/5=5/2。
答:5:2
以上