第171問の解答


1.問題 [平面図形

問題図

 上の図は、長方形ABCDの頂点が、辺DC上にくるようにPBを折り目として折ったところを示しています。

 では、CA’=3cmDP=2cmのとき、ABの長さは何cmでしょうか。

2.解答例1(ありさのお父さん、丸天後藤様、TORAさん他)

AB=x、AD=yとおく。

参考図1

題意より、△APB△A’PBPBを軸として対称である。
PA’=PA=y−2、A’B=AB=xで、△A’PD、△A’BCは共に直角三角形だから、
  (x−3)2+22=(y−2)2 ・・・(1)
  2=y2+32 ・・・(2)

(1)−(2)より、
  −6x+9+4=−4y+4−9、よってy=(x−3)×3/2

(2)に代入して、
  2(x−3)2×9/4+32
  5x2−54x+117=0
よって、(5x−39)(x−3)=0
x>3
だからx=39/5=7.8cmとなります。

答:7.8cm

 以上


3.解答例2(長野 美光さん、中村明海さん、まるケンさん、Hamayanさん他)

参考図2

まず、△APB△A’PBPBを軸として対称であることから、
∠BAA'=∠BA'A、∠ABP=∠A'BP、∠PAA'=∠PA'A、∠APB=∠A'PBとなります。
また、∠BAA'+∠PAA'=90°などから、結局、
 ∠BAA'=∠BA'A=∠APB=∠A'PB=▲
 ∠ABP=∠A'BP=∠PAA'=∠PA'A=● と分かります。

従って、∠DA'A=90°−●=▲となり、
∠DPA'=∠CA'B=90°−2×▲=と分かります。

よって、△DPA'△CA'Bは相似で、相似比はDP:CA'=2:3となります。
従って、PA':A'B=2:3なので、AP=PA'=2t、AB=A'B=3t と書けます。

また、A'D=AB−A'C=3t−3、AD=AP+PD=2t+2で、
A'D:PD=BC:A'Cより、(3t−3):2=(2t+2):3
これをに関して解くと、t=2.6、よってAB=A'B=3t=7.8cmと分かります。 


解答例2(ヒデー王子さん)

解答例2と同様にして、△PA'D△A'BCが相似で相似比は2:3
また、△PAH:△BAH=△PA'H:△BA'H=2:3なので、各面積比は4:9
△AA'Dの面積:四辺形ABCA'=4:9。

△A'BC=(四辺形ABCA'−△AA'D)/2だから△AA'D:△A'BC=4:2.5
DA':A'C=△AA'D:△A'BC=4:2.5。

よって、AB=CD=A'C×(4+2.5)/2.5
       =3×6.5/2.5=39/5=7.8cm