第１７２問の解答

１．問題　［速さ］

　　あるデパートの２Ｆから３Ｆに向かう上りエスカレーターで、マサルさんとトモエさんが遊んでいました。

　あるとき、トモエさんが２Ｆから３Ｆへ、マサルさんが３Ｆから２Ｆへ同時に歩き始めました。トモエさんは３Ｆに着くとすぐに２Ｆに向かって、マサルさんは２Ｆに着くとすぐに３Ｆに向かって歩き始めます。このとき、マサルさんが１度目にトモエさんに出会ってから２度目に出会うまでに下り方向には６０歩、上り方向には１５歩だけ歩いたそうです。

　さて、今度はマサルさんが３Ｆから２Ｆに向かって歩き、トモエさんは２Ｆから買い物カゴをエスカレーターに乗せて（置いて）３Ｆに向かわせる遊びをしました。このとき、

（１）　マサルさんは２Ｆから数えて何段目の地点で買い物カゴと出会ったでしょうか。
（２）　マサルさんは買い物カゴを受け取るまでに何歩歩いたでしょうか。

　ただし、２人の歩くペースは同じものとします。

２．解答例１

マサルさん、トモエさんがエスカレータを下る時の速さと上るときの速さの比を1:kとする。

参考図1

２人が出発して１回目に出会うまでに進む段数の比はBC:AC＝1:k、２回目に出会ってもとの階に戻るときの段数の比はBD:AD＝k:1となる。

マサルさんが、AC間を下りるときとAD間を上るときの速度比が1:kで、段数の比がk:1だから所用時間の比はk2:1=60:15=4:1。よって、k=2となります。

これから、エスカレータ自身が上がる速さをv0、２人が進む速さをv1とすると、(v1+v0):(v1-v0)＝2:1、よってv1:v0=3:1と分かります。

さて、マサルさんは、AC間を3×v0の速度で６０歩下りましたが、その間エスカレータがv0の速度で上がったため、正味に下りた段数は６０×2/3＝４０段、BC間の段数は４０段×1/2＝２０段になります。

（同様に、AD間の段数＝１５×4/3＝２０段、BD間の段数＝２０×２＝４０段となります。）

参考図2

さて、次のゲームで買い物カゴの上がる速度はv0、マサルさんの下りる速度は２×v0で速度比は1:2。よって、出会うまでに進む段数の比は1:2、よってAE＝６０×1/3＝２０段。
この間に、マサルさんは３倍の速度で進んだので、２０×３＝６０歩となります。

答：（１）２０段（２）６０歩

　

参考図
参考図3

　以上