第178問の解答


1.問題 [平面図形

問題図
 左図のように、角XOY=45゜となっている2直線OX、OYがあります。

 いま、OA=4cmとなる点AXOY内部にとり、
OX
上に点Bを、OY上に点C三角形ABC周の長さ最も短くなるようにとりました。

 このとき、BCOAの交点をとすると、OP=3cmPA=1cmであったそうです。

 では、三角形ABC面積何cm2と考えられるでしょうか。

2.解答例1(YokoyaMacさん、わかさひ君、ヒデー王子さん、Hamayanさん、中村明海さん他多数)

(参考問題)点A,Bがある直線に対して同じ側にあります。
       直線上の点Cが動くとき、AC+BC最小になる点C位置は?

参考図1 (解答例)
直線に対して、と対称な点をA’とする。
点CA'B直線の交点、C'はそれ以外の点とすると、
AC=A'C、AC'=A'C'、となることから、
 AC+BC=A'C+BC<A'C'+BC'=AC'+BC'

よって、点A'、C、Bが一直線上にならぶときに、AC+BCが最小となる。

(本問の場合)

参考図2 直線OXに関して点と対称な点を、直線OYに関して点と対称な点をとする。

AB=BD、AC=ECより、
 AB+BC+CA=DB+BC+CE

よって、D、B、E一直線上に並ぶとき、すなわちOXDEの交点、OYDEの交点になるときに三角形ABC周の和最小となる。

このとき、三角形ABCの面積は次のようにして求めることが出来ます。

参考図3 OP:PA=3:1より、
△OBP:△ABP=△OCP:△ACP=3:1

また対称性より、
△ODB=△OAB、△OEC=△OAC。
よって、
△ODP:△ABP=△OEP:△ACP=7:1。
△DOE:△ABC=7:1。

また、∠DOE=∠AOB×2+∠AOC×2
 =(∠AOB+∠AOC)×2
 =90°

従って、△DOE=1/2×DO×EO
 =1/2×4×4=8cm2

よって、△ABC=1/7×△DOE=8/7cm2

答:8/7cm2

 以上