第１８６問の解答

１．問題　［整数の性質］

　エンピツとノートが同じ数だけあります。

　エンピツはＡ組の１３人で、ノートはＢ組の１４人で分けました。（１人あたりの数ができるだけ多くなるように、かつみんな同じ数ずつ渡るようにします。）すると、Ａ組の生徒が持っているエンピツの数と、Ｂ組の生徒が持っているノートの数が等しくなったそうです。

　では、エンピツの総数（＝ノートの数）として考えられる数は何通りあるでしょうか。

※・・・もちろん、エンピツやノートが余っちゃうこともあります。
※・・・どの生徒も必ず１本（１冊）はもらうものとします。 

２．解答例１（YokoyaMacさん、ＴＯＲＡさん、Miki Sugimotoさん、長野美光さん、清川育男さん他）

エンピツの総数（＝ノートの数）をｎ、
Ａ組の生徒が持っているエンピツの数＝Ｂ組の生徒が持っているノートの数をａ
とすると、
　ｎ＝１３ａ+ｒ１＝１４ａ+ｒ２　(０＜ａ、0≦ｒ１≦1２、0≦ｒ２≦1３)
と書ける。 

参考図1

上記式よりｎから、ａ、ｒ１、ｒ２は一意的に決まり、またａ、ｒ１を決めればｎ、ｒ２は一意的に決まる。

０≦ｒ２＝ｒ１−ａ≦１３　より、ａ≦ｒ１≦１２。

よって、
　ａ＝１のとき、ｒ１＝１、２、・・・、１２の１２通り、
　ａ＝２のとき、ｒ１＝２、・・・、１２の１１通り、
　　・・・・
　ａ＝１２のとき、ｒ１＝１の１通り、
合計１２＋１１＋・・・＋１＝（１＋１２）／２×１２＝７８通りとなる。

参考図2

答：７８通り

　以上