第１８８問の解答
１．問題 ［速さの問題・ドップラー効果］
| ２隻の舟、マサル号とトモエ号があります。 マサル号はＡ島からＢ島に向かって、トモエ号はＢ島からＡ島に向かって同じ速度で進行しています。（最初、両者は近づきつつあります） ２隻の舟からは、一定時間ごとにハトを相手の舟に向かって飛ばしています。 このとき、同じ時間にマサル号とトモエ号を飛び立った２羽のハトが出会う周期を測ったところ、最初７分ごとでしたが、途中からは１１分ごとになったそうです。 |
２．解答例１
２隻の船およびハトどうしの相対速度が問題になるので、トモエ号およびトモエ号のハトは止まっているものとして考えて良い。このとき、相対速度は、それぞれ２倍になるが、速度比は変わらない。
さて、マサル号が止まっているときをまず考えてみよう。
船の速度をｖ１m/s、ハトの速度をｖ2m/s、マサル号からＴ分周期でハトが飛び立つものとする。ハトが飛び立ってからＴ分経過し、次のハトが飛び立とうとするとき、前のハトはv2・Ｔm進んでいる。次のハトがその地点にいくまでには、ｖ２・Ｔ／ｖ２＝Ｔ分かかる。
その後の経過は、前のハトと全く同じだから、結局トモエ号にいるハトと出会う周期は、マサル号を飛び立つ周期と同じＴ分である。
次に、マサル号がトモエ号に近づいているときを考える。
ハトが飛び立ってからＴ分経過し、次のハトが飛び立とうとするとき、前のハトはv2・Ｔm進んでいる。ところが、マサル号もv1・Ｔm進んでいるので、次のハトがその地点にいくまでには、（ｖ２-v1）・Ｔ／ｖ２分となる。
その後の経過は、前のハトと全く同じだから、結局トモエ号にいるハトと出会う周期は、
（ｖ２-v1）・Ｔ／ｖ２分である。
同様に、マサル号がトモエ号から遠ざかるときを考える。
ハトが飛び立ってからＴ分経過し、次のハトが飛び立とうとするとき、前のハトはv2・Ｔm進んでいる。ところが、マサル号もv1・Ｔm遠ざかっているので、次のハトがその地点にいくまでには、（ｖ２＋v1）・Ｔ／ｖ２分となる。
その後の経過は、前のハトと全く同じだから、結局トモエ号にいるハトと出会う周期は、
（ｖ２＋v1）・Ｔ／ｖ２分である。以上から、（ｖ２-v1）・Ｔ／ｖ２＝７、（ｖ２＋v1）・Ｔ／ｖ２＝１１となる。
従って、（ｖ２-v1）：（ｖ２＋v1）＝７：１１となる。
上図から、v2＝（１１＋７）／２＝９分、v1＝（１１−７）／２＝２分。
よって、v2：v1＝９：２、すなわち、ハトの速さは船の４．５倍となります。
