第189問の解答


1.問題 [空間図形

正面から見た図
問題図3
上から見た図
問題図1
右から見た図
問題図2
 上図は、ある巨大な立体の、「上から」「正面から」「右から」見た図(注・正面および右からの図は、それぞれ一番手前の面を描いています)をそれぞれ並べたものです。この立体は、面ABC、面ACH、面ABIが平面で出来ています。

 地点からいろいろな方向に向かってまっすぐ進むとき、に向かうと勾配は1/5です。
また、最も坂が急になる方向だと、勾配は1/4になります。

 さて、図中のCH長さ何mでしょうか。

2.解答例1(Taroさん、ありさのお父さん、たなかさん、Hamayanさん)

題意より、問題の立体は下図のようなものと分かる。

参考図1

を通り高さが1mの点よりなる直線を考え、ACとの交点をからAHに下ろした足をとする。

また、IE上の点AG=4mとなるように取り、AGの延長とHIの交点をとし、G、Qを垂直に伸ばした点と平面ABCとの交点をF、Pとする。

俯瞰図
参考図2
上から見た図
参考図3

AP最大勾配となるとき、AQIEは直交するので、三角形AIGは3辺が3、4、5m直角三角形となる。

三角形EIAは三角形AIG相似なので、AE=AI×AG/IG=5×4/3=20/3mとなる。

三角形ACHADE相似なので、
 CH=DE×AH/AE=1×12/(20/3)=1.8mとなります。

答:1.8m

 以上


3.解答例2(長野美光さん他)

CBを延長し平面AIHと交わる点をHAの延長線上にDFABが平行となるように引く。また、からDFに下ろした垂線の足をとする。

俯瞰図
参考図4
上から見た図
参考図5
(参考)マウスでドラッグして下さい。

AD上の点BK最大勾配となるのは、IKADが直交するときなので、題意よりBK=4mAK=3mと分かる。

BE=12とすると、
DE=BE×AB/AH=12×5/12=5、DF=BE×AK/BK=12×3/4=9

よって、CH=BI×HD/BD=BI×DF/DE=1×9/5=1.8m


4.解答例3(M.Hossieさん、YokoyaMacさん他)

下図のように、原点とする座標系で考える。

参考図6

平面ABCA(0,0,0)、B(0,5,1)、C(-12,0,h)を通るので、(-5/12)hx + y - 5z = 0 で表せる。
k=5/12hとおくと、-kx + y - 5z = 0 ・・・(1)となる。

底面AHI上の点でP(cosθ、sinθ、0)を垂直に伸ばし、平面ABCと交わる点をQ(cosθ、sinθ、z)とする。

(1)より、z=(−kcosθ+sinθ)/5=√(1+k2)/5×cos(θ+α)と書ける。

この最大値が最大勾配1/4になるので、√(1+k2)/5=1/4、
2=9/16
、よってk=3/4

従って、h=12/5×3/4=1.8mとなる。


5.解答例4(きょえぴさん他)

解答例3同様、を原点とする座標系で考える。

HI,CB上にそれぞれ点P(-12t,5(1-t),0),Q(-12t,5(1-t),ht+1-t)をとる。(h>0

Aから点Qに向かうときの勾配はPQ/APである。
これをの関数としてf(t)とすると、 f(t) = (ht+1-t)/(169t2+25-50t)1/2 と表せる。

微分して、
 f'(t)= -(-25h+25ht+144t)/(169t2+25-50t)3/2=0より、
 t = 25h/(25h+144) のとき最大

最大値 f(25h/(25h+144))=(25h2+144)/60=1/4を解くと、h=9/5,-9/5を得る。
よって、h=9/5=1.8mとなる。

参考y=f(t)のグラフ

h=1.8のとき、最大値=0.25になっている。

参考図9