第１９４問の解答

１．問題　［平面図形］

問題図
　３つの正方形があり、それぞれの一辺の長さは３９cm、３５cm、１０cmです。
　これら３つの正方形と、三角形４つとを組み合わせて左の図のような図形を作りました。

　このとき、三角形４つ分の面積を求めてください。

２．解答例１（たなかさん、sambaGREENさん、ＫＩＮさん、長野美光さん、永弘さん、きょえぴさん、中村明海さん、他多数）

４つの三角形の面積が等しいことが次のようにして分かります。

参考図

三角形ＧＱＦを９０度回転してＧＦ'をＧＣに合わせると、
角ＥＧＣ＋角ＱＧＦ＝１８０度より、ＥＧＱ'は１直線上に並びます。

ＥＧ＝ＧＱ'で、高さは共通だから、三角形ＥＧＣの面積＝三角形ＧＱ'Ｆ'の面積。
（三角形の面積＝２辺の長さの積×ｓｉｎ（挟む角）÷２　からも分かります）

　

真ん中の三角形ＥＧＣは、三辺の長さが３９、３５、１０なので、ヘロンの公式により、a=39,b=35,c=10,s=(39+35+10)/2=42として、

　三角形ＥＧＣの面積=√｛s(s-a)(s-b)(s-c)｝=√｛42・3・7・32｝=168

よって、求める面積＝１６８×４＝６７２

　

（ヘロンの公式）　（Hamayanさんによる）

(a+b+c)/2=sとおくと、
S =(1/2)absinC
　=(1/2)ab√(1-cos2C)
　=(1/2)ab√[1-{(a2+b2-c2)/2ab}2]
　=(1/2)ab√[{(2ab)2-(a2+b2-c2)2}/(2ab)2]
　=(1/4)√[(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)]
　=(1/4)√[{(a+b)2-c2}{c2-(a-b)2}]
　=(1/4)√{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}
　=√{2s(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)/16}
　=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}

答：６７２ｃｍ2

　以上

３．解答例２（Hamayanさん他）

真ん中の三角形ＧＥＣの面積を求める。
頂点Ｇから、辺ＥＣに垂線を下ろし、足をＨとする。

参考図2

ｘ＝ＥＨ、ｈ＝ＧＨとすると、
　x2+h2=102,h2+(39-x)2=352

これより、x = 66/13, h = 112/13を得る。

三角形ＧＥＣの面積＝1/2×３９×６６/１３＝１６８

以下同様。

４．解答例３（Taroさん、M.Hossieさん他）

真ん中の三角形ＧＥＣの面積を求める。
角ＥＧＣ＝θとする。

参考図3

余弦定理より、
　ｃｏｓθ＝（１０2＋３５2−３９2）／（２・１０・３５）＝−７/２５、
　ｓｉｎθ＝√（１−（-７/２５）2）＝√（５７６/６２５）＝２４/２５。

よって、三角形ＧＥＣ＝1/2×１０・３５・ｓｉｎθ＝５・３５・２４/２５＝１６８

以下同様。

４．解答例３（ありっちさん他）

真ん中の三角形の面積を求める。
縦２１ｃｍ、横３６ｃｍの長方形ＡＢＣＤを考えます。
辺ＡＢ上にＦ、辺ＡＤ上にＥを下図のようにとる。

参考図4

AF=2・3、AE=2・4よりＥＦ＝2・5＝１０。

CD=7・3、ED=7・4よりＥC＝7・5＝35。

BF=3・5、BC=3・12よりCＦ＝3・13＝39。

よって、
三角形ＥＦＣ＝３６×２１−（1/2×６×８＋1/2×２１×２８＋1/2×１５×３６）＝１６８

以下同様。

５．解答例４（イデムリンさん他）

真ん中の三角形の面積を求める。
縦２７ｃｍ、横３６ｃｍの直角三角形ＡＢＣを考えます。
辺ＡＢ上にＤ、Ｈ、辺ＡＣ上にＥを下図のようにとる。

参考図5

三角形ＡＢＣは、９・３、９・４、９・５の直角三角形、ＥＣ＝４５−１０＝３５ｃｍ、
ＡＨ＝２・３、ＡＥ＝２・５よりＥＨ＝２・４＝８ｃｍ。

よって、三角形ＤＨＥも三角形ＡＨＥ同様、６、８、１０の直角三角形、
ＤＥ＝１０ｃｍ。

ＢＤ＝３・５、ＢＣ＝３・１２よりＣＤ＝３・１３＝３９ｃｍ。

よって、
三角形ＤＥＣ＝1/2×３６×２７−（1/2×１２×８＋1/2×１５×３６）＝１６８

以下同様。