第199問の解答


1.問題 [平面図形

問題図
90度、BCcmの直角三角形ABCがあります。

の二等分線をひき、辺ACとの交点をとすると、CPcmでした。

では、直角三角形ABC面積何cm2でしょうか。

 


2.解答例1CRYING DOLPHINさん、トトロ@Nさん、うっしーさん、サトラさん、H.Takaiさん、むつこさん、じい3さん、他多数)

から辺ABに垂線を下ろし、垂線の足をとします。

参考図1

直角三角形PBCと直角三角形△PBDについて、辺PBが共通で∠PBC=∠PBDより合同。よって、PDPCcm。

直角三角形ABCと直角三角形△APDについて、∠BACが共通だから相似。相似比は、DP:BC1:2、よって面積比は1:4

今、△APDの面積をとすると△ABCの面積は
よって△PBC、△PBDの面積=()/2=3/2

実際の△PBCの面積
 =1/2×BC×PC
 =1/2×2×1
 =1cm2

よって、△ABCの面積
 =/(3/2)×△PBC
 =8/3×
 8/3cm2

答:8/3cm2

 以上


3.解答例2萬田銀次郎さん、たなかさん、sambaGREENさん、他)

ABとおきます。

参考図2

解答例1と同様にして、△PBDと△PBCは合同、△ABCと△APDは相似。
よって、BDBCcm、ADABAD(x−2)cm。
APDP×(ABBC)=cm。

APDは直角三角形だから、ピタゴラスの定理より、
 (x−22=(x/22、32−16+20=0、(3−10)(−2)=0
 10/3または
ADx−2>0より、=2は不適。
よって、x=10/3

ABC=1/2×BC×PC
  =1/2××(10/3×1/2+1
  =8/3cm2

 以上


4.解答例3Taroさん、杉本未来さん、丸天後藤様AUさん、AЯCさん、Hamayanさん、jackalさん、他多数)

ABP=∠PBCθとおきます。

参考図3

tanθPCBC1/2より、
ACBC×tan2θ
  =2×2tanθ/(1−tan2θ
  =2×2×1/2/(1−(1/2)2
  =8/3

よって、△ABCの面積
 =1/2×BC×AC
 =1/2××8/3
 =8/3cm2