第５問の解答

問題　［整数の性質］

ある所に長老と呼ばれる人物がいたという。
長老は２００歳を越える大変な長生きで知られていたが、あるとき村の若者に

　『あなたはいったいおいくつなのですか。』

と聞かれ、次のように答えたという。

　『わしの年齢か。まあ、いくらわしでも５００歳はいっとらんのぉ。
　そいから、わしの年齢に１３を足すとちょうど３１で割り切れるな。
　それと、３１を足したらは１３で割り切れるぞい。』

それを聞いた若者は、長老の年齢を見抜いたという。

さて、この長老は何歳であったか。

解答例（マサルさん）

　問題文から、長老の年齢は

  1. 200歳より大きく、500歳未満である。

  2. 13を足すと31の倍数になる。

  3. 31を足すと13の倍数になる。

という３つの条件が浮かび上がってきます。

そこで、２.と３.に注目してみると、
２.より
　　13を足すと３１の倍数になるのだから、さらに31を足して合計44を足しても31の倍数になる。
３.より
　　同様に、31を足すと13の倍数になるのだから、44を足しても13の倍数になる。
ということがわかります。

これを利用すると、長老の年齢は、44を足すと13でも31でも割り切れる数になる、ということがわかる
のです。

ですから、まず13でも31でも割り切れる数を求めると、
　13×31=403（13と31の最小公倍数）
となり、これが長老の年齢に44を加えた数だから、長老の年齢は、
　403-44=359
と求まります。

　答：　３５９歳

以上

（参考）式で考える

長老の年齢をnとします。

題意より、p、qが存在して
　200<n<500　・・・　（１）
　n+13=31p　・・・　（２）
　n+31=13q　・・・　（３）

（２）の両辺に31を加えると、
　　n+44=31(p+1)　・・・　（２）’

（３）の両辺に13を加えると、
　　n+44=13(q+1)　・・・　（２）’

（２）’、（３）’より、
　　n+44=31(p+1)=13(q+1)
よって、n+44は、31および13の倍数となるので、
　　n+44=31・13m＝403m
と書けます。

（１）を満たすmは、m=1のみ。
よって、n=403-44=359