第9問の解答


問題 [整数の性質]

1番から2000番までの番号のついたランプがあります。
これらのランプにはそれぞれスイッチがついており、
押すたびごとに、ランプ点灯消灯を繰り返します。

現在、全てランプ消えている状態で、これから、次のような作業を行います。

  1. 1の倍数スイッチを押す。
  2. 2の倍数スイッチを押す。
  3. 3の倍数スイッチを押す。
  4. 4の倍数スイッチを押す。
          ・
          ・
  5. 2000の倍数スイッチを押す。

1.2000.の作業を終えたとき、点灯しているランプ( )個でした。

( )にあてはまるを求めなさい。


解答例(マサルさん

例えば、12番ランプについて考えます。
このランプスイッチが押されるのは、12の約数である1、2、3、4、6、12の各作業を行ったときです。
ということは、

参考図1

となって、結局最後には消えていることになります。

 このことから分かるのは、

  • スイッチは、その番号約数の作業のときに押される。

  • 約数偶数個あるときには、消灯した状態で終わる。

ということです。

そこで、”約数の個数”について考えてみると、例えば12の約数6個です。
この数え方は、上図のようにすると漏れがありません。

つまり、ある約数に対してかならず「掛けて12」となる相手を探してやるわけです。
すると、全ての数約数が偶数個であるかと思われますが、実は例外があるのです。
それは....。

(例)36約数9個

参考図2

上の例のように、真ん中の数が 6×6=36のようになる場合、当然約数は奇数個になります。
つまり、同じ数2回掛けてできた数約数奇数個であることがわかります。

解答ですが、このような数2000番までに何個あるかを調べればよいことになります。

ここで、
 43×43=1849、44×44=1936、45×45=2025
ですから、1×1〜44×44がこの条件にあてはまることになります。

答: 44個

以上