第１３問の解答

問題　［平面図形］

問題図 左図の△ABCは、辺ＡＢ＝辺ＡＣの二等辺三角形です。

この三角形の辺ＡＣ上に、ＢＣ＝ＡＤになるような点Ｄをとるとき、
∠ＡＢＤの大きさを求めなさい。

解答例１（マサルさん）

△BAEは、△ABCと合同な三角形を作り、逆向きに重ねたものです。

参考図１

AD＝AEで、∠EAD＝８０−２０＝６０度ですから、
△ADEは正三角形です。

すると、AB＝EB、AD＝ED、∠BAD＝∠DEB＝８０−６０＝２０度より、
△ABDと△EBDは合同。

よって、
　∠ABD＝２０／２＝１０度
であることが分かります。
　

答：　１０度

以上

　

　

　

解答例２（マサルさん）

下図のように、辺ADと同じ長さの線分を、次々にとってみます。

参考図２


すると、△ADEは底角が２０度の二等辺三角形、△DEFは底角が４０度の二等辺三角形となります。

さらに、点Ｆから出発した線分は頂点Ｂと重なることが分かります。
なぜなら、ABとの交点をGとすると、∠BFC＝８０度になるため、
Gを通りFCに平行な直線とＣの交点をＨとすれば、ＧＦ＝ＨＣとなりますが、ＧＦ＝ＢＣなのでＨ＝Ｂとなります。

ここで二等辺三角形EFBに注目すると、∠BEF＝１８０−２０−１００＝６０度であることから、
△EFBは正三角形であることが分かります。

すると、三角形EBDは実は二等辺三角形であることがわかり、
　∠ABD＝∠ＡＥＤ×1/2＝１０度
であると分かります。
　

解答例３（マサルさん）

下の図のように、△ABCと合同な△AEDを作ります。

参考図３


すると、AE＝ABとなり、また∠EAB＝８０−２０＝６０度ですから、△AEBは正三角形と分かります。

このことから、△EBDはEB＝EDの二等辺三角形となります。
∠BED＝６０−２０＝４０度ですから、∠EBD＝（１８０−４０）/２＝７０度です。

よって、∠ABD＝７０−６０＝１０度と分かります。

解答例４（マサルさん）

下図のように、辺BCを一辺とする正三角形BECを作り、頂点Aと頂点Eを結びます。

参考図４

ここで△ABDと△BAEに注目すると、∠ABE＝８０−６０＝２０度であることから、この２つの三角形は合同であることが分かります。（二辺とその間の角がそれぞれ等しい）

よって、∠ABD＝∠BAE＝２０／２＝１０度となります。