第13問の解答
問題 [平面図形]
左図の△ABCは、辺AB=辺ACの二等辺三角形です。
この三角形の辺AC上に、BC=ADになるような点Dをとるとき、
∠ABDの大きさを求めなさい。
解答例1(マサルさん)
△BAEは、△ABCと合同な三角形を作り、逆向きに重ねたものです。
AD=AEで、∠EAD=80−20=60度ですから、
△ADEは正三角形です。すると、AB=EB、AD=ED、∠BAD=∠DEB=80−60=20度より、
△ABDと△EBDは合同。よって、
∠ABD=20/2=10度
であることが分かります。
答: 10度
以上
解答例2(マサルさん)
下図のように、辺ADと同じ長さの線分を、次々にとってみます。
すると、△ADEは底角が20度の二等辺三角形、△DEFは底角が40度の二等辺三角形となります。さらに、点Fから出発した線分は頂点Bと重なることが分かります。
なぜなら、ABとの交点をGとすると、∠BFC=80度になるため、
Gを通りFCに平行な直線とCの交点をHとすれば、GF=HCとなりますが、GF=BCなのでH=Bとなります。ここで二等辺三角形EFBに注目すると、∠BEF=180−20−100=60度であることから、
△EFBは正三角形であることが分かります。すると、三角形EBDは実は二等辺三角形であることがわかり、
∠ABD=∠AED×1/2=10度
であると分かります。
解答例3(マサルさん)
下の図のように、△ABCと合同な△AEDを作ります。
すると、AE=ABとなり、また∠EAB=80−20=60度ですから、△AEBは正三角形と分かります。このことから、△EBDはEB=EDの二等辺三角形となります。
∠BED=60−20=40度ですから、∠EBD=(180−40)/2=70度です。よって、∠ABD=70−60=10度と分かります。
解答例4(マサルさん)
下図のように、辺BCを一辺とする正三角形BECを作り、頂点Aと頂点Eを結びます。
ここで△ABDと△BAEに注目すると、∠ABE=80−60=20度であることから、この2つの三角形は合同であることが分かります。(二辺とその間の角がそれぞれ等しい)
よって、∠ABD=∠BAE=20/2=10度となります。