第２２問の解答

問題　［ 平面図形］

問題図 左図は、ＡＢ＝６m，ＢＣ＝９mの長方形の箱を表しています。箱の内側の面は全て鏡面になっています。

いま、この箱の点Ｐ（ＢＰ＝１m）からＡＤの右半分のある点に向けてレーザー光線を発射したところ、内側の壁で５回反射して点Ｐに再び戻ってきました。 　

 このとき、光の進んだ距離を求めなさい。

解答例１（マサルさん）

いきなり５回反射では難しいので、１回の反射で考えてみることにします。
下の図１、２をご覧ください。

参考図

図１のように、Pから出発した光がAD上で跳ね返って辺DCにぶつかったとします。
このとき、光は壁にぶつかった角度と同じ角度で反射しますから、図２のように直進した、と置き換えることもできるわけです。（光の反射では、入射角と反射角は等しくなります。）

そこで、５回跳ね返る様子を図３のように表してみることにします。

図３は、四角形ABCDをそれぞれ反射した辺について線対称になるようにたくさん並べたものです。
（記号の移り方に注意！）

この図形を用いて点Pから出発した光が再び点Pに５回壁を通ってたどり着くような直線を考えればよいことになります。で、当てはまるものが図３中の青色の線分です。

あとはこの線分の長さを求めるだけです。
この線分を斜辺とする直角三角形を考えると、縦の長さが２４cm、横の長さが１８cmであることが分かります。

横が３×６、縦が４×６ですから、この三角形は辺の長さが３：４：５の直角三角形と分かり、
斜辺の長さは５×６＝３０ｍとなります。

答：３０ｍ

以上

（補足）

５回跳ね返るように光を発射する方向は下図のように５カ所あります。

参考図２

このうち、すなわち最初にADの右半分に突き当たるものは、解答例１のもののみです。