第３８問の解答

問題　［ 空間図形］

問題図 左図のような円錐があります。
底面の半径は１cm、ＯＡの長さは２４cmです。

この円錐に、図のようにＡからＯＡ上の点Ｂまで、糸をたるまないように４回巻きつけます。
また点Ｂは、糸の長さが最も短くなるように定めます。

糸がＯＡと初めに交わる点をＤとするとき、ＯＤを一辺とする正方形の面積を求めてください。

解答例１（マサルさん）

まずは、この円錐の側面の展開図を考えましょう。側面の形は扇形ですね。
底面の半径は１cmですから、その周の長さは２×３.１４cmです。

また、扇形の半径は２４cmです。これがもし扇形でなく円だったら４８×３.１４cmになってしまいます。
ということは、扇形の弧の長さは円である場合の４８分の２、つまり２４分の１であることが分かります。

そこで、扇形の中心角＝３６０゜×１/２４＝１５゜であることになります。

さてこの扇形に糸を巻きつけるわけですが、４回まきつけるということは、中心角１５゜の扇形を４つ並べた平面図を考えれば良いことになります。（下の図参照）

参考図１

すると、中心角は１５゜×４＝６０゜となります。６０゜とくればピンと来ますね？　
そう、正三角形です。図の青い点線の△ＯＡＡ''''は、正三角形です。

さて、ＡＢの長さは考えられる限り最短でなくてはなりません。
これはＡＢがＯＡ''''に垂直に交わるようにすれば良いことになります。
というわけで、この問題で巻いた糸は図の赤線のようになっていることが分かります。

あとは、ＯＤを一辺とする正方形の面積です。
ＯＤの長さは中学生以上なら三平方の定理で一発なのですが、小学生はそうはいきません。

注目する点は、△ＯＤＢが直角二等辺三角形であることです。
ということは、この三角形４つ分でちょうど求める正方形ということになります。

ＯＢはＯＡの中点ですから、ＯＢ＝１２cm。
△ＯＤＢの面積＝１２×１２÷２＝７２cm2です。

従って、求める正方形の面積＝７２×４＝２８８cm2となります。

答：　２８８cm2

以上