第４５問の解答

問題　［ 空間図形］

１辺の長さが１cmの立方体が２７個あります。

この立方体を組み合わせて１辺の長さが３cmの立方体を作って周りをペンキで塗り、乾いたらバラバラにします。

同様の作業をあと２回繰り返したところ、もとの１辺の長さが１cmの立方体の全ての面がペンキで塗られたそうです。

３回の作業で使ったペンキの色がそれぞれ違うとすると、それぞれの色が２面ずつ塗られている立方体はいくつあるでしょうか。

解答例１

２７個の立方体で３ｃｍの立方体を作ったとき、１回の作業でそれぞれ何面をペンキで塗ることができるかで分類してみましょう。

参考図１

１回の作業で延べ９×６＝５４面、３回の作業では５４×３＝１６２面を塗ることができます。

ところが、２７個の立方体には合計６×２７＝１６２面あるので、重複して塗るような面はありませんし、
また、どの立方体とも、３回の作業でちょうど６面を塗らなくてはいけません。

従って、ある回にDであった立方体は、残りの２回はAでなくてはいけません。
　　（D：０面、A：３面、A：３面）　・・・　（１）
Dは各回１個ですから、このタイプは延べ３個

また、ある回にCであった立方体は、残りの２回はAとBでなくてはいけません。
　　（C：０面、A：３面、B：２面）　・・・　（２）
Cは各回６個ですから、このタイプは延べ１８個

（１）と（２）で、各分類の延べ個数を数えてみると、
　A：２×３＋１×１８＝２４個
　B：０×３＋１×１８＝１８個
　C：０×３＋１×１８＝１８個
　D：１×３＋０×１８＝　３個
となり、B以外は全て出尽くしています。

従って、残り２７−３−１８＝６個は、３回ともBのものとなります。
　　（B：２面、B：２面、B：２面）　・・・　（３）

参考図２

求める立方体は、（３）のタイプのものですから、６個あることが分かります。

答：　６個

以上