第５３問の解答

問題　［空間図形 、場合の数］

問題図 ３つの辺の長さが２cm、３cm、５cmの直方体がたくさんあります。

この直方体を同じ向きにすきまなく並べたり重ねたりして、一辺の長さが３０cmの大きな立方体を作ります。


このとき、大きい立方体の１つの対角線は、何個の小さい直方体を貫通するでしょうか。

解答例１

マサルさん

まずは平面図形で考えてみましょう。

参考図１

図は、縦２cm、横３cmの長方形を同じ向きにならべて一辺が３０cmの正方形を作り、対角線をひいたところを示しています。

この対角線がいくつの長方形を横切っているかを数えると２０個になります。

対角線が新しい長方形を通過するときを、長方形の左または下の辺と対角線が交わるときと考えます。
対角線の座標は（ｔ,ｔ）（ただし、0≦ｔ<30）で表されますから、tが２または３の倍数のときの個数を数えれば良いことになります。

従って、通過する長方形の個数
　＝２の倍数＋３の倍数−６の倍数
　＝３０/２＋３０/３−３０/６＝１５＋１０−５＝２０個
となります。

立体の場合も全く同様です。
対角線の座標は、（ｔ,ｔ,ｔ）（ただし、0≦ｔ<30）で表されますから、tが２または ３または５の倍数のときの個数を数えれば良いことになります。

参考図３

従って、通過する直方体の個数
　＝２の倍数＋３の倍数＋５の倍数−（６の倍数＋１０の倍数＋１５の倍数）＋３０の倍数
　＝３０/２＋３０/３＋３０/５−（３０/６＋３０/１０＋３０/１５）＋３０/３０
　＝１５＋１０＋６−（５＋３＋２）＋１＝２２個
となります。

答：　２２個

以上