第５７問の解答

問題　［空間図形］

問題図 左図のように、一辺の長さが３６cmの正方形の折り紙をもとにして、四角錐の展開図を作りました。

青い部分を切り取って組み立てると、底面が正方形で、側面がどれも二等辺三角形である正四角錐ができます。

この正四角錐の表面積が６４８cm2であるとき、この正四角錐の体積を求めてください。

解答例１

マサルさん

図１は問題の展開図、図２は組み立てた立体を表しています。

参考図１

正四角錐の表面積が６４８cm2であったということは、図 １の水色の部分の面積が６４８cm2であったということです。

従って、白い部分の４つの三角形の面積は、
　３６×３６−６４８＝６４８cm2
であることが分かります。

すると、１つの三角形は、
　６４８÷４＝１６２cm2
となりますね。

従って、白い三角形の高さを求めることができます。
　DE＝１６２×２÷３６＝９cm

これで、中央の正方形ABCDの面積を求めることができます。
　正方形の対角線の長さ＝３６−９×２＝１８cmですから、
　面積＝１８×１８÷２＝１６２cm2
となります。

これで、立体の底面積を求めることができました。

さて高さですが、図１の△OEDと図２の△OHDと比べてみます。
 斜辺はODで共通、もう１辺はED＝HD＝９cmとなる直角三角形なので合同。

従って、立体の高さOH＝OE＝１８cmとなります。

よって、立体の体積＝１６２×１８÷３＝９７２cm3となります。

答：　９７２ｃｍ3

以上