第６０問の解答

問題　［推理］

あるパーティに、１００組の夫婦が参加しました。
このパーティの唯一のルールは、「握手をした相手の人数を覚えておくこと。」でした。
また、夫婦同士での握手は行われないことになっています。もちろん、握手しなくてもＯＫです。

このパーティの参加者の一人であるマサルさんが、パーティの終了後、自分以外の１９９人に握手した相手の人数を聞いたところ、なんと全員の答えが異なっていたそうです。

では、マサルさんの奥さんは、何人の人と握手したと考えられるでしょうか。

解答例１

マサルさん

このパーティの参加者は全部で１００×２＝２００人です。

参考図１

「夫婦同士での握手は行わない」わけですから、握手できる最大の人数は２００−２人（自分自身と自分の配偶者）＝１９８人です。従って、可能性としては０人から１９８人の１９９通りが考えられるわけです。

マサルさんが聞いた１９９人は皆違った人数と握手を行ったわけですから、この１９９人は「誰とも握手していない人」から「１９８人と握手した人」までの１９９通り全てのパターンがちょうど当てはまることになります。

この中で、「１９８人と握手した人」（Ｐ1とします）を考えてみます。
Ｐ1は自分の配偶者（Ｐ'1とします）以外のすべての人と握手をしたことになります。

逆に言うと、Ｐ'1以外の人は少なくとも１回は握手したことになります。
ということは、「誰とも握手しなかった人」は、Ｐ'1というになります。

次に、「１９７人と握手した人」（Ｐ2とします）を考えます。
この人は自分の配偶者（Ｐ'2とします）とＰ'1の２人以外の全員と握手したことになります。

こうなると、Ｐ1、Ｐ'1、Ｐ2、Ｐ'2以外の人は、最低２回（Ｐ1、Ｐ2）は握手したことになります。
ということは、「１回だけ握手した人」は、Ｐ'2ということになります。

以下、同様にして、
　Ｐ1・・１９８人と握手、　Ｐ'1・・０人と握手
　Ｐ2・・１９７人と握手、　Ｐ'2・・１人と握手
　Ｐ3・・１９６人と握手、　Ｐ'3・・２人と握手
　　　　　　・・・・
　Ｐ99・・１００人と握手、Ｐ'99・・９８人と握手
とが、それぞれ配偶者同士の組み合わせになります。

すると、マサルさん以外で残った（Ｐ100）のはマサルさんの奥さんだけです。
マサルさんの奥さん、すなわちＰ100は、９９人と握手したことになりますが、
以上のことから、Ｐ1、Ｐ2、・・・、Ｐ99の９９人と握手し、Ｐ'1、Ｐ'2、・・・Ｐ'99とは握手していませんので、
確かに９９人と握手しています。

答：　９９人

以上