第６４問の解答

問題　［平面図形］

問題図 左図は、ＢＤを軸にして直角三角形ＡＢＣを折ったところを示しています。

このとき、Ａ'ＤとＢＣは垂直に交わっており、ＢＥ＝２cm、ＤＥ＝１cmとなっていました。

ここで、もとの直角三角形ＡＢＣの面積を求めてください。

解答例１

マサルさん

ＡとＡ'を結び、ＢＤとの交点をＦ、ＢＥとの交点をＧとします。

参考図１

まず、△ＢＡ'Ｄは、△ＢＡＤを折り返したものですから、ＡＤ＝Ａ'Ｄ、ＡＢ＝Ａ'Ｂですね。
さらに、ともに辺ＢＣに垂直になっているのでＡＢとＤＡ'は平行。

また、折り返し図形の性質からＡＦ＝Ａ'Ｆなので、ＡＢ＝Ａ'Ｄになります。

すると、四角形ＡＢＡ'Ｄは、菱形、つまり、ＡＤとＡ'Ｂは平行となります。

さて、△ＢＤＥと△ＢＧＦは相似な直角三角形で、直角をはさむ２辺が１：２。
従って、ＧＦ：ＢＦ＝１：２。　・・・　（１）

次に、△ＡＢＦも上記の２つの三角形と相似なので、△ＡＢＦも直角をはさむ２辺が１：２。
よって、ＢＦ：ＦＡ＝１：２。　・・・　（２）

従って、（１）と（２）より、ＧＦ：ＢＦ：ＦＡ＝１：２：４。
また、Ａ'Ｆ＝ＡＦより、ＡＦ：ＦＧ：ＧＡ'＝４：１：３と分かります。

さて、△ＡＧＣと△Ａ'ＧＢは相似で、ＡＧ：Ａ'Ｇ＝５：３より相似比は５：３ですね。
従って、ＡＣ：Ａ'Ｂ＝５：３。

Ａ'Ｂを３とすると、ＡＣ＝５となります。
よって、ＡＤ＝Ａ'Ｂ＝３。従って、ＤＣ＝２。

△ＤＥＣと△Ａ'ＥＢの相似比は２：３より、ＣＥ：ＢＥ＝２：３。
従って、ＣＥ＝４/３cmと分かります。

よって、ＢC＝BE＋CE＝２＋４/３＝１０/３cm。
また、ＡＢ＝DE×AD／AC＝５/２cm。

よって、△ABC＝１０/３×５/２÷２＝２５/６cm2　となります。

答：　２５/６cm2

以上