第６７問の解答

問題　［空間図形］

問題図 左図のように、立方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨの各面上に正方形の穴をあけて、向かい側の面まで突き抜けるようにします。

立方体の１辺の長さ：正方形の１辺の長さ＝３：１で、正方形はそれぞれの面の中央にあけることにします。

この立体を頂点Ａ、Ｃ、Ｆを通る平面で切るとき、切り口の面積は、△ＡＣＦの面積の何倍でしょうか。

解答例１

マサルさん

参考図１

上の２つの図をご覧ください。
立方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨを３×３×３＝２７個の小さな立方体の集まりと考えることにします。
図１は、それを分かりやすく書いたものです。

さて、立方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨの切り口は、もし空洞がなければ正三角形になります。

これは切られる小さい立方体にも言えることです。

ＡＣ、ＡＦ、ＣＦの３辺はそれぞれ３等分されています。
なぜなら、それぞれの辺は小さい立方体の対角線３つ分だからです。

そして、３等分された辺はそれぞれ、小さな正三角形の一辺となっています。
従って、切り口は図２のようになります。

正三角形ＡＦＣは小さな正三角形が９個でできています。
そのうち、３個は空洞ですから、実際に切り口となっているのは６個分です。

というわけで、求める面積比＝６÷９＝２/３となります。

答：　２/３

以上