第６８問の解答
問題 ［推理］
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３枚のカードがあります。 それぞれのカードには１以上１０以下の整数が１つ書かれています。 これを使って、以下のようなゲームを行いました。
これを数回繰り返したところ、３人の得点の合計は、 ３枚のカードに書かれた数はそれぞれいくつだったでしょうか？ |
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解答例１
マサルさん
まず、ゲームの行われた回数と、３枚のカードの合計を考えます。
３人の得点の合計は、２３＋２１＋１３＝５７点です。
カードに書かれた数は１０以下より、
ゲーム回数が２以下なら、各人の得点合計は２０点以下となり不適。ゲーム回数が４以上なら、５７＝３×１９より、
ゲームの回数＝１９、カードの合計＝３となり、カードに書かれた数は１となるので、これも不適。よって、ゲーム回数＝３、カードの合計＝１９となります。
さて、３枚のカード合計が１９であることは分かりました。
そこで、３枚のカードに書かれた数をそれぞれ、○、△、□とします。配られ方のパターンとして、○△□というのは考えられません。
なぜなら、得点が１９点の人がいないからです。また、○○○とか△△△、□□□というのも考えられません。
もし考えられるとしたら３の倍数の得点（２１点）をもつトモエさんだけです。さて、マサルさん、トモエさん、ツヨシくんが、それぞれ２枚（トモエさんは、２または３枚）持っているカードを、○、△、□とします。
マサルさんの３枚目は、○ではありませんので、△または□のいずれかです。
マサルさんの３枚目が△のとき
トモエさんの３枚目は○か□となりますが、○とすると、ツヨシさんの３枚目が□となり不適。
従って、次のケースのみとなります。
マサル：○○△＝２３ ・・・ （１）
トモエ：△△□＝２１ ・・・ （２）
ツヨシ：□□○＝１３ ・・・ （３）（１）＋（２）より、
○○△△△□＝４４
○△□＋○△△＝４４
○△△＝４４−１９＝２５ ・・・ （４）（１）＋（４）より、
○○○△△△＝４８
○△＝４８÷３＝１６ ・・・ （５）（１）−（５）より、○＝２３−１６＝７
よって、△＝１６−○＝１６−７＝９
従って、□＝２１−△△＝２１−１８＝３これらは題意を満たします。
マサルさんの３枚目が□のとき
次のいずれかのケースになります。
（ケースA） （ケースB）
マサル：○○□＝２３ ・・・ （１） マサル：○○□＝２３ ・・・ （１）
トモエ：△△○＝２１ ・・・ （２） トモエ：△△△＝２１ ・・・ （２）'
ツヨシ：□□△＝１３ ・・・ （３） トモエ：□□○＝２１ ・・・ （３）'
・ケースAのとき（１）＋（２）より、
○○○△△□＝４４
○△□＋○○△＝４４
○○△＝４４−１９＝２５ ・・・ （５）（２）＋（５）より、○○○△△△＝４６、
よって、○△＝４６÷３となるが整数でないので不適。・ケースBのとき
（１）＋（３）'より、
○○○□□□＝４４
○□＝４４÷３となるが整数でないので不適以上から、○＝７、△＝９、□＝３が唯一の解となります。
答： ３、７、９
以上
