第68問の解答


問題 [推理]

3枚カードがあります。
それぞれのカードには以上10以下の整数が1つ書かれています。
これを使って、以下のようなゲームを行いました。
  1. これらのカードをお母さんがマサル君トモエさんツヨシ君の3人に配る。
  2. 3人はそれぞれに配られたカードに書かれた得点として記録する。
  3. カードをお母さんにもどす

これを数回繰り返したところ、3人得点の合計は、
 マサル君23点トモエさん21点ツヨシ君13点
となりました。

3枚カード書かれた数それぞれいくつだったでしょうか?


解答例1

マサルさん

まず、ゲームの行われた回数と、3枚カードの合計を考えます。
3人得点の合計は、23+21+13=57点です。

  • カードに書かれた数は10以下より、
    ゲーム回数2以下なら、各人の得点合計20点以下となり不適。

  • ゲーム回数4以上なら、57=3×19より、
    ゲームの回数19カードの合計となり、カードに書かれたとなるので、これも不適。

よって、ゲーム回数カードの合計19となります。

さて、3枚カード合計19であることは分かりました。
そこで、3枚カードに書かれた数をそれぞれ、とします。

配られ方のパターンとして、○△□というのは考えられません。
なぜなら、得点19点の人がいないからです。

また、○○○とか△△△□□□というのも考えられません。
もし考えられるとしたら3の倍数の得点(21点)をもつトモエさんだけです。

さて、マサルさん、トモエさん、ツヨシくんが、それぞれ2枚トモエさんは、または3枚)持っているカードを、とします。

 参考図1

マサルさんの3枚目は、ではありませんので、またはのいずれかです。

  • マサルさんの3枚目のとき

トモエさんの3枚目となりますが、とすると、ツヨシさんの3枚目となり不適。

従って、次のケースのみとなります。
マサル○○△=23 ・・・ (1)
トモエ△△□=21 ・・・ (2)
ツヨシ□□○=13 ・・・ (3)

(1)+(2)より、
 ○○△△△□=44
 ○△□○△△=44
 ○△△=44−19=25 ・・・ (4)

(1)+(4)より、
 ○○○△△△=48
 ○△=48÷3=16 ・・・ (5)

(1)−(5)より、=23−16=
よって、=16−=16−7=
従って、=21−△△=21−18=

これらは題意を満たします。

  • マサルさんの3枚目のとき

次のいずれかのケースになります。

(ケースA)               (ケースB)
マサル○○□=23 ・・・ (1)  マサル○○□=23 ・・・ (1)  
トモエ△△○=21 ・・・ (2)   トモエ△△△=21 ・・・ (2)'
ツヨシ□□△=13 ・・・ (3)   トモエ□□○=21 ・・・ (3)'

・ケースAのとき

(1)+(2)より、
 ○○○△△□=44
 ○△□○○△=44
 ○○△=44−19=25 ・・・ (5)

(2)+(5)より、○○○△△△=46、
よって、○△=46÷3となるが整数でないので不適。

・ケースBのとき

(1)+(3)'より、
 ○○○□□□=44
 ○□=44÷3となるが整数でないので不適

以上から、が唯一の解となります。

答: 3、7、9

以上