第７１問の解答
問題 ［推理］
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算チャレ共和国のわがままなマサル王子は、部下に次のような命令をしました。 「明日までに、１ｇ〜４０ｇまでの重さを１ｇおきに量ることのできる天秤をつくれ！ 翌日、部下たちは命令通りの天秤を作ったそうです。 このとき、完成した天秤に用意されたおもりの重さをすべて答えてください。 |
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解答例１
マサルさん
まず帰納的に考えてみます。
１ｇの重さを量れるようにするには、１ｇのおもりがあればＯＫです。
次に、２ｇの重さを量れるようにするわけですが、このときに考えられるのは、
Ａ案：１ｇのおもりをもう一個用意する。
Ｂ案：２ｇのおもりを用意する。
Ｃ案：３ｇのおもりを用意する。
の３通りが考えられます。この中で最も効率が良いのはＣ案です。
なぜなら、これだと１ｇから４ｇまでの重さをすべて量ることができるようになりますから。
さて次は５ｇを量れるようにすればよいわけですね。
このときは、１〜９ｇの９通りが考えられるわけですが、もちろんここで選ぶのは９ｇのおもりですね。
１〜４ｇは既にOK。
９ｇと反対側に４〜１ｇを載せて９−４＝５ｇ〜９−１＝８ｇ、
もちろん９ｇ自身もOK
そして、９ｇと同じ側に１〜４ｇを載せて９＋１＝１０ｇ〜９＋４＝１３ｇ以上より、１ｇ、３ｇ、９ｇの３個で１ｇ〜１３ｇまで量ることができます。
ここまで、３ｇ＝１ｇ×３、９ｇ＝３ｇ×３ですから、次は９ｇ×３＝２７ｇのおもりと考えられます。
実際、１ｇ、３ｇ、９ｇ、２７ｇの４個で１ｇ〜４０ｇまで量ることができます。なぜなら、１〜１３ｇは既にOK。
２７ｇと反対側に１３〜１ｇを載せて２７−１３＝１４ｇ〜２７−１＝２６ｇ、
もちろん２７ｇ自身もOK
そして、２７ｇと同じ側に１〜１３ｇを載せて２７＋１＝２８ｇ〜２７＋１３＝４０ｇさて、４個が最も少ないかということについて考えてみましょう。
そこで、n個のおもりがあるときに、最大何通りの重さを量ることができるのかを考えてみます。n個のおもりがあるとき、このおもりの使い方は、左の皿に載せる、右の皿に載せる、載せないの３通りがあります。従って、合計3n通りの使い方が考えられることになります。
しかし、これだとおもりを全く載せない場合が含まれているので、これを除く3n-1通りとします。
さらに、これらには、左右ちょうど反対となる組み合わせがダブって数えています。
例えば右に１ｇ、左に３ｇの場合と右に３ｇ、左に１ｇの場合は、どちらも２ｇを量ることになります。従って、重複を除くと、n個のおもりで量ることのできる重さは最大で(3n-1)/2通りであることが分か
ります。n=3のときは、(33-1)/2＝１３通り、n=4のときは、(34-1)/2＝４０通りと分かりますから、
４０通りを量るには少なくとも４個のおもりが必要となります。
答： １ｇ、３ｇ、９ｇ、２７ｇ
以上
