第７５問の解答

問題　［ 虫食い算］

問題図 ４桁の整数ＡＢＣＤに７０００を加えて５倍したところ、５桁の整数ＡＢ７ＣＤになったそうです。

このとき、もとの４桁の整数ＡＢＣＤを求めてください。

解答例１

須崎琢也さん

×５は×１０÷２と考えると、(Ａ＋７)ＢＣＤ０＝ＡＢ７ＣＤ×２としても問題と同意になります。

参考図１

さて、Ｄについて考えると、同じものを加えたときに下一桁が０になる（０から９までの）整数はD＝ ０または５ となります。

  1. Ｄ＝０のとき

Ｄと同様、Ｃ＝０または５ となるが、Ｃ＝０は百位の条件（７＋７＋１＝１０＋Cまたは１０＋C+1）より不適。従って、Ｃ＝５だけが解の可能性がある。

次に千の位でＢの条件（B＋B＋１＝１０＋B）より、同じものを加えたときに下一桁が自分自身より１小さいことになりますから、Ｂ＝９です。

続いて万の位でＡの条件（A＋A＋１＝A＋７）を考えると、同じものを加えたときに下一桁が自分自身より６大きいことになりますから、Ａ＝６です。

  1. Ｄ＝５のとき

十の位でＣの条件（C＋C＋１＝５または１５）より、同じものを加えたときに下一桁が４となりますので、Ｃ＝２または７ です。

しかし、C＝２およびC＝７のどちらも百の位におけるＣの条件（７＋７または７＋７＋１＝１０＋C）を満たさないため、Ｄ＝０は解としては不適となります。

従って、求める答えは，Ａ＝６、Ｂ＝９、Ｃ＝５、Ｄ＝０となり、求める４桁の整数は６９５０と分かります。

また、（６９５０＋７０００）×５＝６９７５０ であり、問題の条件を満たします。
　　　　　　　　

答：　６９５０

以上