第７６問の解答
問題 ［推理］
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リエさんとキョーコさんが、２〜９の整数を使って次のようなゲームをしました。
このようにして、ゲームを続けていき、２０００以上の数を作った方が勝ちとします。 さて、リエさんがはじめに２と言ったそうです。 では、キョーコさんが言った絶対に勝てる数とは何だったと考えられるでしょうか。 |
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解答例１
マサルさん
下図のように考えます。ここで先手勝とは、先手番がうまくやれば必勝となる状態、
また、後手勝とは、先手番がどのような手をつくしても後手が必勝となる状態 を表します。
キョーコさんが必ず勝つわけですから、その直前にリエさんが作った数は、２０００より小さい数で、２２３以上（９倍すると２０００を越える）の数のはずです。というよりも、リエさんをそのような数を作らざるを得ない状況に追い込めばよいわけです。
そのためにはその前のキョーコさんの数は、１１２以上で２２２以下の数であればよいことになりますね。こうなると、リエさんは２と言っても２２４、９と言っても１９９８となり、どうしても上記の範囲の数を作ってしまうことになります。
また、キョーコさんが１１２より大きく２２２以下の数を作るには、そのまた前にリエさんが作った数が１３以上で１１１以下の数であればよいことになります。つまり、キョーコさんはこの状況に追い込んだわけです。
さて、リエさんがどうしても１３以上で１１１以下の数になるということは、キョーコさんがその前に作った数が７以上で１２以下であることになりますね。（１３以上だと９を掛けると１１１を越えてしまいます。）
キョーコさんが７以上で１２以下の数を作るわけですから、リエさんの言った数が２であることを考えると、
２×４＝８
２×５＝１０
２×６＝１２
の３通りが、必ず勝てる方法ということになりますね。
答： ４、５、６
以上
（参考）式で考えてみます。
後手必勝形の区間をg(n,m)、先手必勝形の区間をs(n',m')と書くことにします。
まず、g(2000,∞)ですね。
先手必勝形から後手必勝形になるには、
m'+1≦n≦n'×9、m'×2≦m
であればいいので、
n'＝[n/9]↑、m'＝[m/2]↓またはn-1
となります。（ただし、[ ]↑は切上げ、[ ]↓は切下げを表します。）また後手必勝形から先手必勝形になるには、
m+1≦n' 、n×2≦n'、m×2≦m'
であればいいので、
n＝[n'/2]↑、m＝[m'/9]↓またはn'-1
となります。（ただし、[ ]↑は切上げ、[ ]↓は切下げを表します。）従って、s(n',m')→g(2000,∞)となるには、
n'=[2000/9]↑=[222.22]↑=223、m'=2000-1=1999g(n,m)→s(223,1999)となるには、
n＝[223/2]↑=[111.5]↑=112、m=[1999/9]↓=[222.11]=222s(n',m')→g(112,222)となるには、
n'=[112/9]↑=[12.44]↑=13、m'=[222/2]↓=111g(n,m)→s(13,111)となるには、
n＝[13/2]↑=[6.5]↑=7、m=[111/9]↓=[12.33]↓=12s(n',m')→g(7,12)となるには、
n'=[7/9]↑=[0.77]↑=1、m'=[12/2]↓=6従って、最初にリエさんは、７〜９の整数を言えば、次の後手番に後手必勝形に持ち込めたことになります。
ところが、リエさんは２を言ったのでこの時点で先手必勝形になってしまったわけです。
キョーコさんがここで整数xを言って、g(7,12)に持ち込むには、
7≦2x≦12となればいいので、x＝４、５、６となります。
