第77問の解答


問題 [空間図形]

問題図 各面に黒いインクをつけたサイコロと、一つのマスの大きさがサイコロの面の大きさと等しい、縦横7マスずつの方眼紙を用意し、中央サイコロを置きました。

このサイコロを、図1の矢印のように転がしていきます。すると、2回転したところで図2のようにインクが方眼紙につきました。

では、予定通りにサイコロを転がし終わった後、図2の水色の部分(真ん中はですね)についたサイコロ目の和はいくつでしょうか。


解答例1

マサルさん

サイコロの配置には、次の2通りのパターンがあるようです。
問題のような結果となるのは、タイプBのほうになります。

参考図1

さて、この問題では、サイコロを転がすことに関して、2つの重要な性質を利用します。
その性質とは、

  1. 同じ方向に2回転がすと対面が下にくる。さらに2回転すると元に戻る。

従って、サイコロ対面の合計になっているので、
例えば、今下にがきているとすると、同じ方向に2回転がすと下にはがきて、さらに2回転するとに戻るというわけです。

  1. コの字型に転がしたとき
    下図の例で、赤い数字1に注目してみて下さい。

参考図2

さて、この2つの性質を利用して数字を埋めていきます。

参考図3

  1. コの字型の性質より、左側のマスと同じ1

  2. 2回転したので、2つ下の4と対角の3

  3. コの字型の性質より、2つ下のマスと同じ5

  4. 2回転下ので、2つ右の3と対角の4

  5. コの字型の性質より、2つ右のマスと同じ1

  6. 2回転したので、2つ上の4と対角の3、および1と対角の6

  7. コの字型の性質より、3つ上のマスと同じ5

  8. 2回転したので、2つ左の6と対角の1、および5と対角の2
    ・・・・

というわけで、結果は上の右図のようになります。

従って、対角線上に並ぶ数字の和は=1+2+3+1+3+2+1=13 となります。

答: 13

以上