第８２問の解答

問題　［確率］

問題図 マサルさんは、１から２３までの数字の書かれた２３枚のカードを使って次のような遊び？をしています。
  1. カードをよく切る。
  2. カードを１枚めくり、机の上に数字が見えるように置く。
  3. カードをもう１枚めくり、机の上のカードよりも大きければその右側に並べ、小さければ箱に入れる。
  4. 以下同様にして、めくったカードの数が右端に置かれたカードの数よりも大きければその右側に並べ、小さければ箱に入れる。

これをカードがなくなるまで繰り返す。

さて、このとき１７の書かれたカードが箱に入ってしまう確率を求めてください。

解答例１

マサルさん

「どのような場合に箱にはいり、どのような場合に机の上に残るのか」を例で考えます。

例えば、カードの数字が上から順に、
　3 5 2 9 2 11 13 4 7 8 6 16 12 18 14 15 21 19 22 17 10 23 20
と並んでいたとしましょう。

参考図１

１７というカードが引かれたときに右端に置いてあるカードは２２ですから、１７は箱の中に入れることになります。

すなわち、ポイントは「１７というカードの前に１７よりも大きい数があるかどうか」です。
あれば箱の中、なければ机の上というわけです。

すると、「１７とそれより大きい数の並び方だけを考えればよい」　ことが分かります。

つまり、１７、１８、１９、２０、２１、２２、２３の７つのカードの並び方だけを考えればよいわけです。

参考図２

例えば、２３ヶ所の中にこれらのカードが、

2２・・・・１８・・・・２３・・・・・２０・１９ １７ ２１・・

のように並んでいれば、１７のカードは箱の中です。

・・・・・１７・２０・２３・・１９・・２１・・１８・・・２２

のように並んでいれば、１７のカードは机の上です。
つまり、他のカードの並び方はどうでもいいことになります。

従って、

  • この１７〜２３の７枚のカードの並び方のうち、１７が先頭にくればカードは机の上

  • １７以外が先頭にくればカードは箱の中

ということになります。

７枚のカードの並べ方のうち、１７が先頭にくる確率は１/７です。
従って、箱に入る確率＝１−１/７＝６/７　です。

答：　６/７

以上