第87問の解答


問題 [空間図形]

問題図 左図は、正四角錐A−BCDEを、を通る平面切ったものです。

がそれぞれACAE中点であるとき、を含む方の立体の体積正四角錐何倍でしょうか。


解答例1

マサルさん

問題の立体を各方向から見ると下記のようになっています。

参考図1

そこで、平面ABDで切った断面のほうから見たものを図1、
また、平面ACE立体2分割したものを図2とします。

参考図2

を通りDA平行に引いた直線BR交点、およびからACに下ろした垂線の足とします。

△SBC△RBD相似で、相似比BC:BD1:2
よって、CS:DR1:2。 ・・・ (1)

また、△APR△CPS相似で、かつAPCPより、2つの三角形は合同
よって、ARCS。 ・・・ (2)

(1)、(2)より、ARRD1:2

さらに、△ARH△ADC相似で、相似比ARAD1:3
よって、RH:DC1:3。 ・・・ (3)

正四角錐A−BCDE体積とします。

図2で、三角錐B−APQB−ACEを求めましょう。
底面の比△APQ△ACE1:4
高さ共通、よって体積比1:4

三角錐B−APQ三角錐B−ACE×1/4=×1/2×1/4=×1/8 ・・・ (4)

また、三角錐R−APQD−ACEを求めましょう。
底面の比△APQ△ACE1:4(なぜなら、APAC×1/2、AQAE×1/2)
高さの比RH:DC=1:3、よって体積比1:12

三角錐R−APQ三角錐D−ACE×1/4=×1/2×1/12=×1/24 ・・・ (5)

従って、四角錐A−BPQR
=角錐B−APQ+三角錐R−APQ
=V
×1/8+×1/24
×1/24×(3+1)
V×1/6

答: 1/6

以上