第８７問の解答

問題　［空間図形］

問題図 左図は、正四角錐Ａ−ＢＣＤＥを、Ｂ、Ｐ、Ｑを通る平面で切ったものです。

Ｐ、ＱがそれぞれＡＣ、ＡＥの中点であるとき、Ａを含む方の立体の体積は正四角錐の何倍でしょうか。

解答例１

マサルさん

問題の立体を各方向から見ると下記のようになっています。

参考図１

そこで、平面ＡＢＤで切った断面をＣのほうから見たものを図１、
また、平面ＡＣＥで立体を２分割したものを図２とします。

参考図２

Ｃを通りＤＡに平行に引いた直線とＢＲの交点をＳ、およびＲからＡＣに下ろした垂線の足をＨとします。

△ＳＢＣと△ＲＢＤは相似で、相似比はＢＣ：ＢＤ＝１：２、
よって、ＣＳ：ＤＲ＝１：２。　・・・　（１）

また、△ＡＰＲと△ＣＰＳは相似で、かつＡＰ＝ＣＰより、２つの三角形は合同。
よって、ＡＲ＝ＣＳ。　・・・　（２）

（１）、（２）より、ＡＲ：ＲＤ＝１：２。

さらに、△ＡＲＨと△ＡＤＣは相似で、相似比はＡＲ：ＡＤ＝１：３。
よって、ＲＨ：ＤＣ＝１：３。　・・・　（３）

正四角錐Ａ−ＢＣＤＥの体積をＶとします。

図２で、三角錐Ｂ−ＡＰＱとＢ−ＡＣＥの比を求めましょう。
底面の比は△ＡＰＱ：△ＡＣＥ＝１：４、
高さは共通、よって体積比は１：４。

三角錐Ｂ−ＡＰＱ＝三角錐Ｂ−ＡＣＥ×1/4＝Ｖ×1/2×1/4＝Ｖ×1/8　・・・　（４）

また、三角錐Ｒ−ＡＰＱとＤ−ＡＣＥの比を求めましょう。
底面の比は△ＡＰＱ：△ＡＣＥ＝１：４、（なぜなら、ＡＰ＝ＡＣ×1/2、ＡＱ＝ＡＥ×1/2）
高さの比はＲＨ：ＤＣ＝１：３、よって体積比は１：１２。

三角錐Ｒ−ＡＰＱ＝三角錐Ｄ−ＡＣＥ×1/4＝Ｖ×1/2×1/12＝Ｖ×1/24　・・・　（５）

従って、四角錐Ａ−ＢＰＱＲ
＝角錐Ｂ−ＡＰＱ＋三角錐Ｒ−ＡＰＱ
＝Ｖ×1/8＋Ｖ×1/24
＝Ｖ×1/24×（３＋１）
＝Ｖ×1/6

答：　１/６

以上