第９１問の解答

問題　［平面図形］

問題図 ＡＢ：ＢＣ＝３：１である二等辺三角形ＡＢＣがあります。

左図は、この△ＡＢＣを頂点Ｃを中心に回転し、頂点Ｂが辺ＡＢ上にきたところを表しています。

このとき、図の△ＦＤＣの面積は、もとの△ＡＢＣの何倍でしょうか。

解答例１

ヨッシーさん

△ＡＢＣと△ＥＤＣは合同な二等辺三角形になります。

参考図１

従って、ＣＤ＝ＣＢとなり、△ＣＤＢも二等辺三角形。
また、∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＣより、△ＣＤＢは△ＡＢＣと相似。

よって、∠ＤＣＢ＝∠ＢＡＣ。

すると、∠ＦＣＥ
＝∠ＥＣＤ−∠ＦＣＤ
＝∠ＡＣＢ−∠ＦＣＤ
＝∠ＤＣＢ＝∠ＣＦＥ。

従って、△ＦＣＥはＦＥ＝ＦＣの二等辺三角形。

また、∠ＦＤＡ＝１８０°−（∠ＥＤＣ＋∠ＣＤＢ）
＝１８０°−（∠ＥＤＣ＋∠ＡＣＢ）
＝∠ＤＡＦ

従って、△ＦＡＤもＦＡ＝ＦＤの二等辺三角形で、しかも△ＦＣＥと相似。

ここで、ＡＢ＝ＥＣ＝９とすると、
　ＡＢ：ＢＣ＝３：１より、ＢＣ＝９×1/3＝３。

よって、ＤＢ＝ＢＣ×1/3＝３×1/3＝１。

従って、ＡＤ＝ＡＢ−ＤＢ＝９−１＝８。

これより、△ＦＡＤと△ＦＣＥは相似で、相似比はＣＥ：ＡＤ＝９：８、
よって、ＥＦ：ＦＤ＝９：８。

従って、△ＦＤＣ＝△ＥＤＣ×８/（８＋９）＝△ＡＢＣ×８/１７　となります。

答：　８/１７倍

以上