第97問の解答


問題 [ 場合の数]

問題図 凸型10角形の内部に16個があります。

これら10角形の頂点10個+内部の点16個26個を結べるだけ結びます。
ただし、線が交わってはいけません。

このとき、最大何本引けるでしょうか。

 


解答例1

マサルさん

10角形の内部に16個ある、ということで、を結べるだけ結んでいくと、この10角形内部にはいくつかの三角形ができ ます。この三角形個数が分かれば、本数も分かります。

参考図1

一般化して、凸n角形内部p個ある場合を考えてみましょう。

さて三角形個数特定するのに有効な方法は、角度を考えることです。
n角形の内部にできる三角形角度総和を求めるわけです。

1つのの周りの角度は360゜で、p個があるわけですから、それらのの周りにできる角度は全部でp×360°=2p×180゜。

また、n角形内角の和は、(n-2)×180゜、
従って、両者を合計すると、(n+2p-2)×180゜となります。

1つの三角形内角の和は180゜ですから、(n+2p-2)×180゜÷180=(n+2p-2)個の三角形があることになります。

すると、辺の数は(n+2p-2)個×3=(3n+6p-6)本となりますが、
まずこれからn角形辺の数nを除いて、(2n+6p-6)本。

そして、n角形内部にできるは、それぞれ2つ三角形共有していますので、
その分を差し引くと、(2n+6p-6)÷2=(n+3p-3)本 となります。

本問では、n=10、p=16なので、n+3p-3=10+3×16−3=55本 と求まります。

答: 55本

以上