第９７問の解答
問題 ［ 場合の数］
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凸型１０角形の内部に１６個の点があります。 これら１０角形の頂点１０個＋内部の点１６個＝２６個の点を結べるだけ結びます。 このとき、線は最大何本引けるでしょうか。
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解答例１
マサルさん
１０角形の内部に点が１６個ある、ということで、線を結べるだけ結んでいくと、この１０角形の内部にはいくつかの三角形ができ ます。この三角形の個数が分かれば、線の本数も分かります。
一般化して、凸n角形の内部に点がp個ある場合を考えてみましょう。
さて三角形の個数を特定するのに有効な方法は、角度を考えることです。
n角形の内部にできる三角形の角度の総和を求めるわけです。１つの点の周りの角度は３６０゜で、p個の点があるわけですから、それらの点の周りにできる角度は全部でp×３６０°＝2p×１８０゜。
また、n角形の内角の和は、(n-2)×１８０゜、
従って、両者を合計すると、(n+2p-2)×１８０゜となります。１つの三角形の内角の和は１８０゜ですから、(n+2p-2)×１８０゜÷１８０＝(n+2p-2)個の三角形があることになります。
すると、辺の数は(n+2p-2)個×３＝(3n+6p-6)本となりますが、
まずこれからn角形の辺の数nを除いて、(2n+6p-6)本。そして、n角形の内部にできる辺は、それぞれ２つの三角形で共有していますので、
その分を差し引くと、(2n+6p-6)÷２＝(n+3p-3)本 となります。本問では、n=10、p=16なので、n+3p-3＝１０＋３×１６−３＝５５本 と求まります。
答： ５５本
以上
