第205問の解答


1.問題 [平面図形

問題図
左図のような9角形ABCDEFGHIがあります。
AIBCDCEFGFHI平行角BCD角EFG角HIA120゜になっています。
また、図の赤の辺青の辺長さの比はちょうど1:2になっています。

いま、をそれぞれ結んだところ、線分IGと線分AH平行であったそうです。

では、9角形ABCDEFGHI面積は、赤の辺(例えば辺AB)を一辺とする正三角形何倍あるでしょうか。

2.解答例1AЯOTさん、香川仁志さん、mitchさん、うっしーさん、他)

三角形AIHを折り返した三角形をARHとします。同様に、BPD、EQGを作ります。

図1
参考図1
図2
参考図2

このとき、APDQGR正六角形となることを示します。

三角形HIGは、HI=HG二等辺三角形だから∠HIG=∠HGI
この角をαとおきます。

AHIG平行なことから、∠AHI=∠HIG=α
△ARH△AIH合同だから、∠RHA=∠AHI=α

∠RHA+∠AHI+∠IHG=2α+∠IHG=180°(△HIGの内角の和)
よって、G、H、Rは一直線上に並ぶことが分かります。

また、HIの長さを1とすると、GR=RA=2、∠ARH=∠AIH=120°

さて、∠IAH=βとすると、∠RAH=β
IHFG平行より、∠HIG=∠IGF=α

対象性より、∠BAI=∠HGF=2α
よって、∠BAR=∠BAI+∠IAR
  =2α+2β=2(α+β)

  =2(∠IAH+∠IHA)=2(180°−∠AIH)
  =2(180−120)=120°

同様にして、APDQGRの各辺の長さが、頂点の内角120度となることが分かるので、APDQGR正六角形となります。

一辺正三角形面積とおきます。
正六角形APDQGRは、一辺正三角形6個に分割されるので、面積は4S×6=24Sとなります。

また、図2のようにAIの延長線上にIA'=1となるよう点A'をとると、
HI=IA'=1、∠HIA'=60°より、△HIA'一辺正三角形。
△AIH
△HIA'は、高さが共通で底辺の長さが2:1
よって、△AIH=2×△HIA'=2

したがって、求める9角形ABCDEFGHI面積=24S−2S×6=12S。

答:12倍

 以上


3.解答例2中村明海さん、他)

三角形AIHを折り返した三角形をARHとします。同様に、BPD、EQGを作ります。

参考図3

対象性から、ADG正三角形と考えられる。
また、△AIG=△HIG等から、9角形ABCDEFGHI面積△ADGとなります。

AHI=∠HIGα、∠IAHβとします。
AIHについて、余弦定理より、
AH2AI2IH2−2×AH×IH×cos120°
   =22+12−2×2×1×1/2
   =7
よって、AH=√7。
また、正弦定理より、
AHsin120°=AIsinαIHsinβ
sinαAIAH×sin120°
   =2/√7×√3/2=√3/√7。
cosα=√(1−sin2α)=2/√7。
sinβsinα×IHAI=√3/2√7。
cosβ=√(1−sin2β)=5/2√7。

IGIH×cosα×2=1×2/√7×2=4/√7。

△AIGについて、余弦定理より、
AG2AI2IG2−2×AI×IG×cos(120+α
   =22+(4/√7)2−2×2×4/√7×cos(180−β
   =4+16/7+16/√7×5/2√7
   =12

従って、9角形ABCDEFGHI面積AG2×S=12

答:12倍


4.解答例3

解答例2と同様にして、
sinα=√3/√7、cosα=2/√7を得る。

参考図4

IGの中点をとすると、
HMsinαIG=2×IM=2×cosα
よって、IGFG×cosαとなるので、∠GIFは直角となる。
IFFG×sinα=2×sinα

さて、対象性より四角形ABCI、GHIF、DEFCは合同で、△CFIは正三角形と考えられる。

HIMと△HMGは合同、△FIGはこれらと合同で相似比=1:2。
S1=四角形ABCI
  =△HIM×(2+4)
  =1/2×cosα×sinα×6
  =2/√7×√3/√7×3
  =6/7×√3

=1/2×1×√3/2=√3/4より、
S1=(6/7×√3)/(√3/4)=24/7

IF=2sinαより、
 S2=△CFI
   =(2sinα2×
   =4×3/7×

よって、9角形ABCDEFGHI面積
  
S1×3+S2
  =24/7×3+12/7×S
  =12×S

答:12倍