第２０８問の解答

１．問題　［平面図形］

左図のような、角ＢＡＣの大きさが９０度よりも大きい三角形ＡＢＣがあります。

　この三角形の辺ＢＣ上に、角ＢＡＤ＝９０度となるような点Ｄと、角ＣＡＤ＝角ＤＡＥとなるような点Ｅをとったところ、三角形ＣＡＤの面積は５cm²、三角形ＤＡＥの面積は３cm²となりました。

　このとき、三角形ＡＢＥの面積は何cm²でしょうか。

２．解答例１（長野美光さん、トトロ＠Ｎさん、ταροさん、ＡЯＯＴさん、むらかみさん、他多数）

ＡＤを軸として、△ACDを折り返し△ＡＦＤとする。
点Ｃと点Ｆを結び、辺ＣＦと辺ＡＤの延長線の交点をＧとする。

△ＡＦＤ＝△ＡＣＤ＝５ｃｍ²、
△ＥＦＤ＝△ＡＦＤ－△ＡＥＤ＝５－３＝２ｃｍ²。

△ＡＥＤと△ＥＦＤは、高さが共通だから、面積の比は、底辺の比に等しい。
よって、ＡＥ：ＥＦ＝△ＡＥＤ：△ＥＦＤ＝３：２。

△ＡＦＧと△ＡＣＧは、ＡＦ＝ＡＣ、ＡＧ共通、∠ＦＡＧ＝∠ＣＡＧより合同。
よって、ＦＣ⊥ＡＧ。

ＡＢ⊥ＡＧだから、ＡＢ//ＣＦ。
よって、∠ＢＡＦ＝∠ＡＦＣ（錯角）。

△ＡＢＥと△ＦＣＥについて、
∠ＢＡＥ＝∠ＡＥＣ、∠ＡＥＢ＝∠ＦＥＣより、△ＡＢＥ∽△ＦＣＥ。
よって、ＢＥ：ＥＣ＝ＡＥ：ＥＦ＝３：２。

△ＡＢＥと△ＡＥＣは、高さが共通だから面積比は底辺の比に等しい。
よって、△ＡＢＥ：△ＡＥＣ＝ＡＥ：ＥＦ＝３：２。
従って、△ＡＢＥ＝△ＡＥＣ×３／２＝８×３／２＝１２ｃｍ²。　

答：１２ｃｍ²

　以上

３．解答例２（うっしーさん、やさん、清川育男さん、なおぞうさん、他）

点Ｅを通り、ＡＤに平行な直線と、ＣＡの延長との交点をＦとする。

ＡＤ//ＦＥより、∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＦ（錯角）、∠ＣＡＤ＝∠ＡＦＥ（同位角）、
題意より∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ。
よっって、∠ＡＥＦ＝∠ＡＦＥ。
よって、△ＡＥＦは二等辺三角形。ＡＥ＝ＡＦ。

解答例と同様にして、ＡＥ：ＡＣ＝△ＡＥＤ：△ＡＣＤ＝３：５。
ＡＥ＝ＡＦより、ＡＦ：ＡＣ＝３：５。

△ＦＥＣ：△ＡＥＣ＝ＦＣ：ＡＣ＝８：５。
よって、△ＡＦＥ：△ＡＥＣ＝３：５。
従って、△ＡＦＥ＝△ＡＥＣ×３／５＝８×３／５＝２４／５ｃｍ²。

ＦＥ//ＡＤでＡＢ⊥ＡＤより、ＡＢ⊥ＦＥ。
ＡＢとＥＦとの交点をＧとする。
△ＡＥＧ＝△ＡＦＥ×1/2＝１２／５ｃｍ²。

△ＡＥＧと△ＡＥＤの高さはＡＧで共通だから、
ＥＧ：ＡＤ＝△ＡＥＧ：△ＡＥＤ＝１２／５：３＝４：５。

ＦＥ//ＡＤより、ＢＥ：ＢＤ＝ＧＥ：ＡＤ＝４：５、
よって、ＢＥ：ＥＤ＝４：１となる。

△ＡＢＥ：△ＡＥＤ＝ＢＥ：ＥＤ＝４：１、
よって、△ＡＢＥ＝△ＡＥＤ×４＝３×４＝１２ｃｍ²となる。

５．解答例４（中村明海さん、他）

ＡＢ上にＡＣ//ＦＥとなるようにＦをとる。

参考図4

解答例３と同様にして、ＦＥ＝ＡＥ。
ＡＥ：ＡＣ＝△ＡＥＤ：△ＡＤＣ＝３：５。

ＦＥ//ＡＣより、ＢＥ：ＢＣ＝ＦＥ：ＡＣ＝ＡＥ：ＡＣ＝３：５、
よって、ＢＥ：ＢＣ＝３：２。
△ＡＢＥ＝△ＡＥＣ×３／２＝８×３／２＝１２ｃｍ²。

６．解答例５（井合宗太郎さん、ハラギャーテイさん、他）

△ＡＢＤの外接円（円１）を考えると、∠ＢＡＤ＝９０度より、ＢＤは円１の直径になる。

参考図5

また、線分ＥＣに関するアポロニウスの円で、比が３：５になるものを円２とする。
ＥＤ：ＤＣ＝ＥＡ：ＡＣ＝３：５なのでＡ、Ｄは円２の円周上にある。

また、ＣＥの延長線上にＥＢ'：Ｂ'Ｃ＝３：５となる点Ｂ'をとると、
B'も円２の円周上で、Ｂ’Ｄは、円２の直径となる。

すると、ＡはＢ'Ｄを直径とする円（円２）の円周上にあることになるので、∠B'ＡＤ＝９０度となる。
ＢもＢ’もＥＣの延長線上にあり、かつ∠ＢＡＤ＝∠Ｂ'ＡＤだからＢとＢ'は一致する。

よって、ＢＥ：ＢＣ＝３：５、ＢＥ：ＥＣ＝３：２、
従って、△ＡＢＥ：△ＡＥＣ＝ＢＥ：ＥＣ＝３：２。
これより、△ＡＢＥ＝△ＡＥＣ×３／２＝８×３／２＝１２ｃｍ²。

（参考）アポロニウスの円（M.Hossieさんによる）
　A からの距離と、 B からの距離の比が m : n (但し、m ≠ n) になる点 P の軌跡は、
　線分 AB を m : n に内分、及び外分する点を直径の両端とする円を描く。
　これを、アポロニウスの円といいます。

参考図6（アポロニウスの円）

（証明）Ａ、Ｂの中点を原点とし、ＡＢの延長線をｘ軸とする座標系で考える。