第２１３問の解答

１．問題　［整数の性質］

ある正の整数があります。
　この整数は、一の位の数が２であり、一の位の数を先頭に移動させると
（例えば、７１３２なら、２７１３にするわけです）、もとの整数の２倍になるそうです。

　さて、このような整数のうち最も小さい数を答えてください。

２．解答例１（杉本未来さん、たなかさん、香川仁志さん、ＡЯＯＴさん、マツダさん、トトロ＠Ｎさん、長野美光さん、YokoyaMacさん、ヒデー王子さん、noetherさん、POIさん、okaokaさん、DrKさん、M.Hossieさん、糸瀬善人さん、Hanさん、航介さん、うっしーさん、くろしろさん、黒谷さん、他多数）

求める整数をＮ＝anan-1an-2a・・・a2a1a0（a0＝２）とします。
Ｎ×２＝a0anan-1an-2a・・・a2a1となるので、桁上がりに注意しながら、下１位から順に求めていくことができます。

a1＝a0×２＝４
a2＝a1×２＝８
a3＝a2×２−１０＝６
a4＝a3×２−１０＋１＝３
a5＝a4×２＋１＝７
a6＝a5×２−１０＝４		 a7＝a6×２＋１＝９
a8＝a7×２−１０＝８
a9＝a8×２−１０＋１＝７
a10＝a9×２−１０＋１＝５
a11＝a10×２−１０＋１＝１
a12＝a11×２＋１＝３		 a13＝a12×２＝６
a14＝a13×２−１０＝２
a15＝a14×２＋１＝５
a16＝a15×２−１０＝０
a17＝a16×２＋１＝１		 
　105263157894736842 
×                 2 
--------------------- 
　210526315789473684

従って、Ｎ＝105263157894736842となります。

答 105263157894736842

　以上

３．解答例２（長野美光さん、他）

１÷１９を計算するときの余り（筆算で各位の数を立てて引き算したときの余り）は、最初の１も含めると、1,10,5,12,6,3,11,15,17,18,9,14,7,13,16,8,4,2の繰り返しになります。 

つまり、１÷１９＝ 0.052631578947368421・・・　に対して、 
１０÷１９は１÷１９の割り算の一桁あとから始めたのと同じですから、 
１桁ずれて、
　　0.526315789473684210・・・ 
５÷１９はもう１つずれて、
　　0.263157894736842105・・・ 
となります。

同様に、
　　４÷１９＝0.210526315789473684・・・　
と一桁あとの
　　２÷１９＝0.105263157894736842・・・　
では、１桁ずれることになり、しかも値は２倍です。

これに着目して、
　　Ｎ１＝４÷１９＝0.210526315789473684・・・、
　　Ｎ２＝２÷１９＝0.105263157894736842・・・　とおきます。
　　Ｎ１×１０18＝210526315789473684．210526315789473684・・・
より、
　　Ｎ１×１０18−Ｎ１＝210526315789473684。
同様にして、
　　Ｎ２×１０18−Ｎ２＝105263157894736842。
Ｎ１＝Ｎ２×２だから、
　　210526315789473684＝105263157894736842×２。
よって、求める整数は、105263157894736842となります。

４．解答例３（ταροさん、あんみつさん、他多数）

Ｎ＝Ｍ×１０＋２とおきます。
Ｎ×２＝２×１０n＋Ｍ（n≧１）
Ｍ×２０＋４＝２×１０n＋Ｍ
Ｍ×１９＝２×１０n−４

よって、２×１０nを１９で割った余りが４となる最小のｎを求めればよいことになります。

　　　　１０５２６３１５７８９４７３６８４２・・・・
１９）２００００００００００００００００００
　　　１９　　
　　　　１００
　　　　　９５　
　　　　　　５０
　　　　　　３８　
　　　　　　１２０
　　　　　　１１４　
　　　　　　　　６０
　　　　　　　　５７　
　　　　　　　　　３０
　　　　　　　　　１９　
　　　　　　　　　１１０
　　　　　　　　　　９５　
　　　　　　　　　　１５０
　　　　　　　　　　１３３　
　　　　　　　　　　　１７０
　　　　　　　　　　　１５２　
　　　　　　　　　　　　１８０
　　　　　　　　　　　　１７１　
　　　　　　　　　　　　　　９０
　　　　　　　　　　　　　　７６　
　　　　　　　　　　　　　　１４０
　　　　　　　　　　　　　　１３３　
　　　　　　　　　　　　　　　　７０
　　　　　　　　　　　　　　　　５７　
　　　　　　　　　　　　　　　　１３０
　　　　　　　　　　　　　　　　１１４　
　　　　　　　　　　　　　　　　　１６０
　　　　　　　　　　　　　　　　　１５２　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８０　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７６　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３８
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・

よって、
Ｍ＝１０５２６３１５７８９４７３６８４、
Ｎ＝Ｍ×１０＋２＝１０５２６３１５７８９４７３６８４２。

（参考）上記計算では、２から出発して１９で割った余りを計算し、
　　　　その余りを１０倍したものを、さらに１９で割った余りを計算する
　　　　・・・の繰り返しになります。

各ステップでの余りをａn、商をｂnとします。（n=0、1、・・・）

筆算で確実に計算していくため、ｎ＝１、２、・・・、１８に対して１０ｎを１９で割ったときの商と余りを表にしておきます。

ｂnはａnを１０で割った余りとなっていることが分かります。

まず、ａ0＝２ですね。
表で、n=２のときの欄から、ａ1＝１、ｂ1＝１。
次に、n=１のときの欄から、ａ2＝１０、ｂ2＝０。
次に、n=1０のときの欄から、ａ3＝５、ｂ3＝５。
　　・・・・
以上から、下表のように求まります。

よって、Ｍ＝１０５２６３１５７８９４７３６８４、
Ｎ＝Ｍ×１０＋２＝１０５２６３１５７８９４７３６８４２