第２１５問の解答

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１．問題　［整数の性質］

マサル君、トモエさん、ツヨシ君、マサヒコ君の４人が、高校の同窓会を開催しました。 　同窓会の席上、４人は昔を懐かしんで、何度も何度も握手をしたそうです。 ４人は握手した回数を正確に覚えていて、その回数は、 　マサル君　・・・　７３回 　トモエさん　・・・　６７回 　ツヨシ君　　・・・　４９回 　マサヒコ君　・・・　３３回 だったそうです。 　では、マサル君とトモエさんは少なくとも何回握手をしたと考えられますか。

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２．解答例１（ありっちさん、ＴＯＲＡさん、杉本未来さん、長野美光さん、ヒデー王子さん、ταροさん、中村明海さん、POIさん、香川仁志さん、圭太さん、トトロ＠Ｎさん、M.Hossieさん、すけさん、さとけんさん、mhayashiさん、他多数）

互いに握手した回数をa、b、c、d、e、fとします。

　a+b+c＝73　・・・　(1)  
　a+d+e＝67 　・・・　(2) 
　b+d+f＝49 　・・・　(3) 
　c+e+f＝33　・・・　(4) 

(1)+(2)+(3)+(4)より、
　　2(a+b+c+d+e+f)＝222
よって、
　　a+b+c+d+e+f＝111　・・・　(5)。

(1)+(2)より、
　2a+b+c+d+e＝a+(a+b+c+d+e+f)-f＝a+111-f＝140
よって、
　　a＝f＋29　・・・　(6)。

(1)+(3)より、
　a+2b+c+d+f＝b+(a+b+c+d+e+f)-e＝b+111-e＝122
よって、
　　b＝e＋11　・・・　(7)。

(1)+(4)より、
　a+b+2c+e+f＝c+(a+b+c+d+e+f)-d＝c+111-d＝106
よって、
　　c＝d−5　・・・　(8)。

(6)、(7)、(8)を(1)に代入して、
　　f+29+d+e＝67
よって、
　　f+d+e＝38　・・・　(9)。

(8)より、
　　c＝d-5≧0、d≧5。

よって(9)より、
　　0≦f+e≦33。

従って、
　　0≦f≦33　・・・　(10)。

(6)より、
　　0≦a-29≦33
よって、
　　29≦a≦62。

従って、マサル君とトモエさんは少なくとも２９回は、握手をしたと考えられます。

実際、a=29、b=11、c=0、d=5、e=0、f=0は題意を満たす１つの解となります。

答 ２９回

　以上

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