第221問の解答
1.問題 [平面図形]
A、B、C、Dの4本のクイが打たれています。
ロープでA、B、Cを結んだところ、その形は正三角形になりました。
A、B、Dを結んだところ、角ADBは60゜となり、ロープの長さは18mでした。
B、C、Dを結んだところ、ロープの長さは15mでした。
A、C、Dを結んだところ、角ADCは60゜となり、ロープの長さは20mでした。
このとき、
(1)AD間の距離は何mでしょうか。
(2)正三角形ABCと三角形BCDの面積比は何対何でしょうか。
2.解答例1(ヒデー王子さん、DrKさん、KINさん、noetherさん、dragon-kさん、M.Hossieさん、航介さん、他多数)
AB=BC=CA=a、BD=b、CD=c、AD=dとします。
題意より、
a+b+c =15 ・・・ (1)
a+b +d=18 ・・・ (2)
a +c+d=20 ・・・ (3)
が成り立つ。また、ADを軸に△ABDを折り返し△AB1Dとする。
∠ADB=∠ADB1=60度だから、B1は辺CD上にある。Aから辺CDに下ろした垂線の足をHとすると、∠ADC=60度より、
DH=(b+c)/2=d/2
よって、b+c=d ・・・ (4)(2)+(3)+(4)より、
2a+2b+2c+2d=38+d
(1)より、
30+2d=38+d
よって、d=8。(4)より、b+c=8 ・・・ (5)
(1)−(5)より、a=7。
(2)より、b=18−(a+d)=3。
(3)より、c=20−(a+d)=5。従って、a=7、b=3、c=5、d=8を得る。
さて、△ABC=1/2×a2×cos(60度)、
△BCD=1/2×bc×cos(60度)より、
△ABC:△BCD=a2:bc=49:15となる。
答 336m
以上
3.解答例2(ταροさん、C-Dさん、萬田銀次郎さん、うっしーさん、ありっちさん、あんみつさん、香川仁志さん、noetherさん、YokoyaMacさん、POIさん、他)
b+c=dを別の方法で求めます。
△ACDを60度回転したものを△ABD1とします。∠ABD=∠ACD=60度+∠BCD、
よって、
∠ABD+∠ABC+∠CBD
=(60度+∠BCD)+60度+∠CBD
=∠BCD+∠CBD+120度
=180度。
従って、D1BDは一直線上にある。AD1=AD=d、
∠D1AD=∠D1AB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60度。
よって、△AD1Dは正三角形となる。
従って、D1D=b+c=AD=dとなる。以下、解答例1と同様。
4.解答例3
b+c=dを別の方法で求めます。
BDを延長し、DE=DC=cとします。∠CDE=180−120=60度、DE=DCだから、△CDEは正三角形。
よって、CE=DC。
△BCEと△ACDについて、
BC=AC=a、CE=DC=c、∠BCE=∠BCD+60度=∠ACD、
よって、△BCE≡△ACD。
従って、BE=b+c=AD=d。
5.解答例4(マサルさん、他)
b+c=dを別の方法で求めます。
AD上にPD=BD、QD=CDとなるよう点P、Qを取ります。△BDP、△CDQは、それぞれ正三角形になります。
△ABPと△CBDについて、
AB=CB=a、BP=BD=b、∠ABP=60−∠PBC=∠CBDより、
△ABP≡△CBD。
従って、AP=CD=c。よって、AD=d=AP+PD=c+b。
さらに、△ABC=S1、△BCD=S2とすると、
S1+S2=△ABD+△ACD=2S2+S1×(b/a)2+S1×(c/a)2、
S1×(a2-b2-c2)/a2=S2、
よって、S1:S2=a2:(a2-b2-c2)=49:15。
(その他の解答例)
・Gouさん、ふぇるまーさん、ハラギャーテイさん
△ABDについて、余弦定理より、
a2=b2+d2−2bd・cos60度=b2+d2−bd ・・・(1)
△ACDについて、余弦定理より、
a2=c2+d2−2cd・cos120度=c2+d2−cd ・・・(2)(1)−(2)より、
b2−c2−bd+cd=0、
(b-c)(b+c−d)=0、
よって、b=c、またはb+c=d。b=cは、(2)、(3)より不適。
よって、b+c=d。・Hamayanさん、有無相生さん、M.Hossieさん
四角形ABCDが同一円周上にあることから、
トレミーの定理より、AB・CD + AC・BD=BC・AD 、
ac+ab=ad、
よって、b+c=d。