第２２６問の解答
１．問題 ［場合の数］
| 男子生徒が７人、女子生徒が７人います。 いま、この１４人の生徒を横１列に並べます。このとき、その列のどこで区切っても、区切られた左右の両グループ内での男女の数が異なるような並び方は何通りあるでしょうか。 例えば、７人の男子生徒と、７人の女子生徒がいるとして、 女 女 男 女 女 男 女 男 男 女 女 男 男 男 ・・・・例１ のように並ぶと、どこで区切っても左右に出来たグループにおける男女数が異なるので、上の条件に当てはまります。 男 男 女 男 女 女｜男 男 女 男 女 男 女 女 ・・・・例２ のように並ぶと、図の｜で区切ると左のグループ（男子３人、女子３人）も右のグループ（男子４人、女子４人）も男女数が等しくなってしまいますから、当てはまりません。 （注）・・・それぞれの“人”は区別しないものとします。 |
２．解答例１（ταροさん、POIさん、みずなぎさん、長野美光さん、高橋道広さん、ありっちさん、他多数）
下図のような７×７の格子図を考えます。
ＡからＢへ至る最短経路について、
上へ進む←→男、 右へ進む←→女
のように対応させると、７人づつの男女を並べる方法と１対１に対応します。最短経路のうち、
どこで区切っても左右に出来たグループにおける男女数が異なる：
Ａ、Ｂ間の対角線上にある格子点を通らない ・・・・ タイプ１
どこかで区切ると左右に出来たグループにおける男女数が等しい：
Ａ、Ｂ間の対角線上にある格子点を通る ・・・・ タイプ２に分けられるので、求める場合の数はタイプ１の最短経路の個数を数えればよいことになります。
そのため、
・スタート地点Ａでは１とおき
・各格子では、そこに至る格子上の数字を加える（図１）
ように、次々と計算していきます。
最後に求まる終点Ｂ上の数字が最短経路の個数となります。
図１
図２
本問では、図２のように計算されるので、求める場合の数は、２６４通りとなります。
答：２６４通り
３．解答例２（ヒデー王子さん、たなかさん、杉本未来さん、たこやき大学さん、萬田銀次郎さん、ＡЯＣさん、むらかみさん、清川育男さん、他多数）
解答例１の図１は、下図のように２つの部分に分かれます。
これらはカタラン数と呼ばれます。
ｎ次のカタラン数の一般式は、2nＣn／(n+1)で求められますので、
本文の答は、
６次のカタラン数の２倍
＝12Ｃ6／7×2
＝１３２×２
＝２６４通り
となります。